Явление переноса в газах. Уравнение переноса
Хаотичное движение газовых молекул ведет к непрерывному перемешиванию газа. С этим связано ряд важных явлений, происходящих в газах. Например, если в разных частях сосуда с газом плотность газа 
различная, то с течением времени она выравнивается. Точно также два различных газа, находящихся в соприкосновении перемешиваются между собой. Эти явление называются диффузией.
В объеме газа, части которого имели первоначально различные температуры, происходит постепенное выравнивание температуры, за счет переноса молекулами своей энергии 
и обмена энергиями с другими молекулами при перемешивании. Это явление называется теплопроводностью. Рассмотрим еще одно явление. Пусть газ течет вдоль горизонтальной поверхности АВ. Ближайший к поверхности слой имеет меньшую скорость благодаря трению о поверхность. Скорости разных слоев газа показаны на рисунке 6. Между слоями газа возникает сила трения, обусловленная переносом молекулами из слоя в слой количества движения 
. Это явление называется внутренним трением или вязкостью. Благодаря внутреннему трению газ движется вблизи поверхности параллельными слоями, скорости которых убывают в направлении перпендикулярном к поверхности АВ. Все перечисленные явления обусловлены одной причиной - переносом молекулами газа своих физических характеристик: массы (диффузия), энергии (теплопроводность), количество движения (явление внутреннего трения). Поэтому механизм всех этих явлений является одинаковым, и все они объединены под общим названием - явление переноса.
Исходя из молекулярно-кинетической теории, выведем общее для всех явлений переноса уравнение переноса. В пространство, где находится газ с концентрацией 
, введем декартовую систему координат (рис.7).
Перпендикулярно оси Х поместим поверхность площадью 
. Определим количество молекул, проходящих через эту поверхность за время 
.
|
через пройдут 
часть всех молекул, находящихся внутри параллелепипеда с основанием и высотой 
. Число таких молекул будет равно
.
Эти молекулы переносят через площадку значения своих характеристик 
(масса, энергия, количество движения). Тогда количество физических характеристик, перенесенных молекулами в одном направлении через 
за время определится выражением:
.
Такое же количество физической характеристики будет перенесено и в обратном направлении, т.е. поток физической характеристики через будет равным нулю.
Предположим, что рассматриваемый газ неоднороден по своим свойствам, т.е. различно в разных местах объема, а сами молекулы имеют неодинаковые значения . Тогда 
будет также различным в разных местах объема газа. Пусть 
убывает в положительном направлении оси Х.
Выберем две площади, находящиеся на одинаковых расстояниях от площади , равных длине свободного пробега 
(Рис.8). Тогда 
будет связано переносом физической характеристики по направлению оси Х.
Такой же поток физической характеристики 
в направлении оси Х будет и через площадь , так как эти площади находятся на расстоянии длины свободного пробега, и в этом промежутке обмен значениями и изменение не происходит, поскольку молекулы не испытывают столкновения. Также рассуждая, можно предположить, что через площадь в обратном направлении оси Х, будет поток физической характеристики 
, причем > . Тогда результирующий поток физической характеристики через будет равным:
.
Разделив и умножив правую часть полученного выражения на 
, перепишем в виде:
.
Поскольку 
представляет изменение на единицу длины, мы можем переписать выражение для 
в виде:
. (4.3)
Полученное выражение представляет уравнение переноса. Знак (-) обусловлен тем, что перенос физической величины происходит в направлении противоположном 
, определяет направление максимального роста .
Диффузия
Пусть в некотором объеме газа имеет место неоднородность в отношении плотности , причем плотность убывает в направлении оси Х. Предположим,
что плотности на расстоянии 
влево и вправо от площади , равны соответственно 
и 
(Рис.9). Тогда 
> . Поскольку 
, где 
- масса молекулы, одинаковое для всех молекул газа, 
. Переносимой величиной в случае диффузии является масса, т.е. 
. Тогда в выражении (4.3)
, 
.
Окончательно имеем:
. (4.4)
- масса газа, переносимая благодаря диффузии через площадь , перпендикулярной направлению оси Х, за время . В термодинамике необратимых процессов уравнение диффузии определяется эмпирическим законом Фика:
, (4.5)
где D- коэффициент диффузии. Из уравнений (4.4) и (4.5) следует, что коэффициент диффузии определяется следующим выражением:
. (4.6)
Единица измерения коэффициента диффузии в системе СИ 
.
Рассмотрим, как зависит коэффициент диффузии от термодинамических параметров. Из формулы (4.6) следует, что 
, поскольку 
не зависит от давления, а 
. Таким образом, с ростом давления Р коэффициент диффузии уменьшается. Определим зависимость коэффициента диффузии от температуры. Так как длина свободного пробега практически не зависит от температуры, а 
, имеем 
. Кроме того, D зависит от сорта газа, эта зависимость определяется тем, что в выражении для коэффициента диффузии входит молярная масса газа 
.
Нестационарная диффузия
Рассматриваемый выше процесс диффузии называется стационарным. При стационарной диффузии градиент концентрации остается постоянным, соответственно, остается постоянным и диффузионный поток. Если градиент концентрации изменяется со временем, то диффузия называется не стационарной.
Рассмотрим процесс нестационарной диффузии, когда происходит выравнивание концентрации в следующем простейшем случае.
Пусть два сосуда с объемами 
и 
соединены между собой трубкой длиной l с площадью сечения 
и наполнены смесью газов разного состава при одинаковых давлениях и температурах (рис.10). Пусть концентрации интересующей нас компоненты в обоих сосудах равны 
и 
. Вследствие диффузии концентрации в обоих сосудах будут выравниваться, т.е. будет убывать со временем разность концентраций
.
Определим, по какому закону происходит это убывание. Из закона Фика, записанного для переносимого числа частиц, имеем:
. (4.7)
Предположим, что концентрация рассматриваемой компоненты мала, так что можно положить:
.
В процесс диффузии молекулы интересуемой компоненты будут переходить из сосуда I в сосуд II. За бесконечно малый промежуток времени 
число молекул, продиффундировавших в сосуд II равно:
.
Из-за такого перехода молекул их плотность в сосуде I уменьшается на некоторую величину 
, а в сосуде II увеличивается на величину 
, причем
.
Поэтому концентрация молекул в сосудах I и II через время 
станут равными:
.
Следовательно, разность концентраций станет равной:
.
Поставив в это выражение значение 
из (4.7), получим:
.
Отсюда следует, что изменение концентрации за время равно:
.
Величину 
называют приведенным объемом. Следовательно,
.
Разделяя переменные, имеем:
. (4.8)
После интегрирования (4.8), получим:
.
С - постоянная интегрирования. Последнее выражение можно переписать в виде:
. (4.9)
Постоянную интегрирования С легко найти, если известна начальная разность концентраций 
в момент времени 
. Подставляя эти условия в (4.9), получим:
.
Тогда
. (4.10)
Согласно формуле (4.10) разность концентраций убывает со временем по экспоненциальному закону и тем быстрее, чем больше значение величины 
, которое для данного опыта является постоянной величиной. Величина 
, обратная этой постоянной 
, имеет размерность времени. При времени 
разность концентраций 
становится равной 
, т.е. уменьшается в 
раз по сравнению с начальной. Уравнение (4.10) можно переписать:
.
Теплопроводность газов
Пусть в некотором объеме газа температура Т убывает в направлении оси Х, т.е. 
(рис.11). Поскольку кинетическая энергия молекулы определяется как 
, 
. Поэтому в сторону убывания температуры будет происходить преимущественный перенос энергии, следовательно, и теплоты. В случае данной задачи переносимый молекулами физической характеристикой является
кинетическая энергия, т.е. 
. Будем считать, что 
одинакова во всем объеме. Тогда величины, входящие в уравнение переноса, выразятся следующим образом:
,
где 
,
.
- количество внутренней энергии, переносимое за время через площадку перпендикулярно направлению переноса. Подставляя эти выражения в уравнение переноса (4.3), получим:
. (4.11)
Умножив числитель и знаменатель уравнения (4.11) на 
, где 
-масса молекулы, 
-число Авогадро и учитывая, что 
, перепишем (4.11) в виде:
, (4.12)
где 
-молярная теплоемкость при постоянном объеме, 
-молярная масса. Так как 
-удельная теплоемкость, из (4.11) окончательно получим уравнение теплопроводности:
. (4.13)
Эмпирически явление теплопроводности описывалось уравнением Фурье
, (4.14)
где 
называется коэффициентом теплопроводности. Из (4.13) и (4.14) следует, что выражение для коэффициента теплопроводности имеет вид:
. (4.15)
Рассмотрим зависимость коэффициента теплопроводности от давления и температуры. Из входящих в (4.15) величин, только плотность 
и длина свободного пробега 
зависят от давления, причем 
и ~ 
. Это приводит к заключению, что коэффициент теплопроводности не зависит от давления. Этот вывод находится в превосходном согласии с опытными данными, которые показывают, что при изменении давления в широких пределах коэффициент теплопроводности остается постоянной.
Из величин, входящих в коэффициент теплопроводности (4.15), только одна величина зависит от температуры, причем 
, соответственно 
.
Как показывает опыт, коэффициент теплопроводности растет с температурой несколько быстрее, чем 
. Это связано с тем, что коэффициент теплопроводности зависит от длины свободного пробега. Как показали раньше, не является постоянной величиной, а растет с температурой.