Понятие о натуральном числе как общем свойстве класса конечных равномощных множеств. Понятие о нуле
Рассмотрим теоретико-множественный смысл количественного числа, используя понятие равномощности множеств.
Возьмем какое – нибудь конечное множество А и отберем в один класс все равномощные ему множества. Если А – множество вершин треугольника, то в один класс с ним попадут множество сторон треугольника, множество букв в слове «мир» и т.д.
Взяв какое-нибудь другое конечное множество В, не равномощное А, отберем все множества равномощные В. В результате получим новый класс конечных равномощных множеств.
Если продолжить этот процесс, то, в силу того, что отношение равномощности есть отношение эквивалентности, все множества окажутся распределенными по классам эквивалентности, причем любые два множества одного класса будут равномощными, а любые два множества различных классов — не равномощными.
Что общего у всех множеств одного и того же класса? Они имеют одинаковую мощность. Это общее свойство всех множеств одного класса эквивалентности и считают натуральным числом. Например, общее свойство множеств, равномощных множеству сторон прямоугольника, есть натуральное число «четыре».
Т.о., с теоретико–множественных позиций количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Каждому классу соответствует одно и только одно натуральное число, каждому натуральному числу – один и только один класс равномощных конечных множеств.
Каждому конечному множеству А соответствует одно и только одно натуральное число а = n (А), но каждому натуральному числу а соответствуют различные равномощные множества одного класса эквивалентности.
Число «нуль» также имеет теоретико – множественное истолкование – оно ставится в соответствие пустому множеству: 0 = n (Ø).
В начальном курсе математики количественное натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Число элементов в множестве определяется путем пересчета, поэтому количественное и порядковое натуральное число выступают в начальном обучении в тесной взаимосвязи.
4. Отношения «равно» и «меньше» на множестве N0
Пусть даны два целых неотрицательных числа а и в. Они представляют собой число элементов конечных множеств А и В:
а = n (А), в = n (В). Если множества А и В равномощны, то им соответствует одно и то же число, т.е. а = в.
Числа a и в равны тогда и только тогда, когда они определяются равномощными множествами.
а = в 
А ~ В, где n (А) = а, n (В) = в
Если множество А равномощно собственному подмножеству множества В и n (А) = а, n (В) = в, то число а меньше числа в (а < в), а число в больше а (в > а).
а < в А ~ В 
, где В 
В, В ≠ В, В ≠ Ø
А ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
В
В1
Из приведенных определений отношений «равно» и «меньше» исходят в начальной школе когда объясняют, что 2 =2, 2 < 3,3 < 4 и т.д. На практике это происходит самыми различными способами: наложением, приложением, путем образования пар и т.д.
Изложенный подход к определению отношения «меньше» имеет ограниченное применение, он может быть использован для сравнения чисел в пределах 20, т.к. связан с непосредственным сравнением двух групп предметов.
Рассмотрим другие подходы к сравнению целых неотрицательных чисел.
Пусть а < в, а = n (А), в = n (В) и А ~ В ,где В1 собственное подмножество множества В.
 |
В
Т.к. В1 В, то В = В1 
В 
n(В) = n (В1 В ) n(В) = n ( В1) + n (В ) (*)
Т.к. . В 
~ А n ( В 
) = n (А).
Обозначим n (В ) = с. Равенство * можно записать в виде в = а + с
Т.е. из того, что а < в следует, что в = а + с, справедливо и обратное утверждение.
Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = в
3 < 7, т.к. существует такое целое неотрицательное число 4, что 3 + 4 = 7.
Этот способ сравнения чисел также используется в начальном курсе математики. Об этом говорит наличие пар записей:
7 + 1 = 8, 7 < 8 5 + 1 = 6, 5 < 6
Рассмотрим еще один способ сравнения чисел.
Пусть а < в. Тогда про любое натуральное число х можно сказать:
если х ≤ а, то х < в. Это значит, что при а < в отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nв. Справедливо и обратное утверждение.
Число а меньше числа в тогда и только тогда, когда отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка натурального ряда Nв.
а < в Nа Nв и Nа ≠ Nв
3 < 7, т.к {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Данная трактовка понятия «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду.
Этот способ сравнения чисел также используется в начальном обучении математике: число, которое при счете встречается раньше, всегда меньше числа, которое идет позднее.