Дискретное преобразование Лапласа
Дискретное преобразование Лапласа найдем по аналогии с дискретным преобразованием Фурье, заменив в нем на
. (4.16)
Это позволяет получить спектр по Лапласу, или изображение сигнала. Существует также обратное преобразование Лапласа
. (4.17)
4.5. – преобразование
Неудобство преобразования является наличие множителя или
, что существенно затрудняет анализ. Его можно упростить при переходе к новой переменной
связанной с
следующим соотношением
, (4.18)
. (4.19)
Таким образом приходим к – преобразованию
. (4.20)
Выражение (4.20) является прямым – преобразованием. Существует и обратное
– преобразование.
(4.21)
При – преобразовании точка
комплексной плоскости
переходит в точку
комплексной плоскости
(рисунок 4.3).
. (4.22)
Используя равенство (4.22), запишем
, (4.23)
и тогда
. (4.24)
При отражении точки преобразования в полярных координатах (рисунок 4.4) можно записать следующее
, (4.25)
, (4.26)
где – целое число.
Точка плоскости комплексной переменной
переходит в точку, для которой
.
И вообще рассматривая ось плоскости комплексной переменной
, находим, что
, т.е.
. Таким образом, при перемещении по оси
плоскости комплексной переменной
, точка отражаемая в плоскости комплексной переменной
будет описывать окружность единичным радиусом с периодом
.
Заштрихованная область (рисунок 4.3) отражается во внутренность круга единичного радиуса в плоскости комплексной переменной . При отражении точек левой полуплоскости плоскости комплексной переменной
, лежащих вне области от
до
(вне заштрихованной области), они снова попадают внутрь круга в плоскости комплексной переменной
. Т.е. вся левой полуплоскость плоскости комплексной переменной
отображается во внутренность круга единичного радиуса плоскости комплексной переменной
, но за пределами заштрихованной области отображение будет происходить с периодическим попаданием в одни и те же точки плоскости комплексной переменной
. Правая же полуплоскость плоскости комплексной переменной
отображается во внешнюю часть круга единичного радиуса плоскости комплексной переменной
.
Цифровая фильтрация сигналов
Технические возможности современной аппаратуры позволяют проводит обработку сигнала в цифровом коде, где они меньше подвержены влиянию внешних воздействий. Они более стабильны. В частности решается задача фильтрации.
Фильтрация сигнала с точки зрения спектральных представлений сигнала представляет собой изменение спектра сигнала.
С точки зрения временного представления фильтрация – это изменение формы сигнала.