Построение доверительного интервала для оценки среднего значения генеральной совокупности

Чтобы найти границы доверительного интервала для среднего значения генеральной совокупности необходимо выполнить следующие действия:

1) по полученной выборке объема n вычислить среднее арифметическое и стандартную ошибку среднего арифметического по формуле:

;

2) задать доверительную вероятность 1 – α, исходя из цели исследования;

3) по таблице t-распределения Стьюдента (Приложение 4) найти граничное значение t_α в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k = n – 1;

4) найти границы доверительного интервала по формуле:

.

Примечание: В практике научных исследований, когда закон распределения малой выборочной совокупности (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для приближенной оценки доверительных интервалов.

Доверительный интервал при n ≥ 30 находится по следующей формуле:

,

где u_a – процентные точки нормированного нормального распределения, которые находятся по таблице 5.1.

Порядок работы на V этапе

1. Проверить на нормальность распределения малую (n < 30) выборку, составленную из разностей парных значений результатов измерений исходного показателя скоростных качеств у «спортсменов» (эти результаты обозначены индексом В) и показателя, достигнутого после двухмесячных тренировок (эти результаты обозначены индексом Г).

2. Выбрать критерий и оценить эффективность метода тренировки, используемого для ускоренного развития скоростных качеств у «спортсменов».

3. Рассчитать и графически построить на числовой прямой доверительные интервалы генеральных средних арифметических выборок В и Г.

Отчет
о работе на V этапе игры
(образец)

Тема: Оценка эффективности методики тренировки.

Цели:

1. Ознакомиться с особенностями нормального закона распределения результатов тестирования.

2. Приобрести навыки по проверке выборочного распределения на нормальность.

3. Приобрести навыки оценки эффективности методики тренировки.

4. Научиться рассчитывать и строить доверительные интервалы для генеральных средних арифметических малых выборок.

Вопросы:

1. Сущность метода оценки эффективности методики тренировки.

2. Нормальный закон распределения. Сущность, значение.

3. Основные свойства кривой нормального распределения.

4. Правило трех сигм и его практическое применение.

5. Оценка нормальности распределения малой выборки.

6. Какие критерии и в каких случаях используются для сравнения средних попарно зависимых выборок?

7. Что характеризует доверительный интервал? Методика его определения.

Вариант 1: критерий параметрический

Примечание: В качестве примера возьмем приведенные в таблице 5.2 результаты измерения показателя скоростных качеств у спортсменов до начала тренировок (они обозначены индексом В, были получены в результате измерений на I этапе деловой игры) и после двух месяцев тренировок (они обозначены индексом Г).

От выборок В и Г перейдем к выборке, составленной из разностей парных значений d_i = N_i^Г – N_i^В и определим квадраты этих разностей. Данные занесем в расчетную таблицу 5.2.

Таблица 5.2 – Расчет квадратов парных разностей значений d_i²

Пользуясь таблицей 5.2, найдем среднее арифметическое парных разностей:

уд.

Далее рассчитаем сумму квадратов отклонений d_i от по формуле:

уд.²

Определим дисперсию для выборки d_i:

уд.²

Далее необходимо выборку, составленную из разностей парных значений d_i, проверить на нормальность распределения.

Выдвигаем гипотезы:

– нулевую – H₀: о том, что генеральная совокупность парных разностей d_i имеет нормальное распределение;

– конкурирующую – H₁: о том, что распределение генеральной совокупности парных разностей d_i отлично от нормального.

Проверку проводим на уровне значимости a = 0,05.

Для этого составим расчетную таблицу 5.3.

Таблица 5.3 – Данные расчета критерия Шапиро и Уилка W_набл для выборки, составленной из разностей парных значений d_i

Порядок заполнения таблицы 5.3:

1. В первый столбец записываем номера по порядку.

2. Во второй – разности парных значений d_i в неубывающем порядке.

3. В третий – номера по порядку k парных разностей. Так как в нашем случае n = 10, то k изменяется от 1 до n/2 = 5.

4. В четвертый – разности D_k, которые находим таким образом:

– из самого большого значения d₁₀ вычтем самое малое d₁ и полученное значение запишем в строке для k = 1,

– из d₉ вычтем d₂ и полученное значение запишем в строке для k = 2 и т.д.

5. В пятый – записываем значения коэффициентов a_nk, взятые из таблицы, используемой в статистике для расчета критерия Шапиро и Уилка (W) проверки нормальности распределения (Приложение 2) для n = 10.

6. В шестой – произведение D_k×a_nk и находим сумму этих произведений:

;

.

Наблюдаемое значение критерия W_набл находим по формуле:

.

Проверим правильность выполнения расчетов критерия Шапиро и Уилка (W_набл) его расчетом на компьютере по программе «Статистика».

Расчет критерия Шапиро и Уилка (W_набл) на компьютере позволил установить, что:

.

Далее по таблице критических значений критерия Шапиро и Уилка (Приложение 3) ищем W_крит для n = 10. Находим, что W_крит = 0,842. Сравним величины W_крит и W_набл.

Делаем вывод: так как W_набл (0,874) > W_крит (0,842), должна быть принята нулевая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности d_i. Следовательно, для оценки эффективности применявшейся методики развития скоростных качеств следует использовать параметрический t-критерий Стьюдента.

• ⇐ Назад
• -4
• -3
• -2
• -1
• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 91011
• Далее ⇒