Закон сохранения механической энергии
Механической энергией называется величина, которая характеризует способности точки (тела) совершать работу. Различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную энергии.
Потенциальной энергией обладает точка, на которую действуют консервативные силы. Однако не для всех консервативных сил принято определять понятие потенциальной энергии. Предположим, что на материальную точку действуют консервативная сила, тогда ее работа по криволинейному участку траектории вычисляется из соотношения:
, (15)
где 
– первообразная.
Потенциальная энергией материальной точки, на которую действует консервативная сила, равна первообразной (см. 15) с противоположным знаком:
. (16)
Физический смысл потенциальной энергии заключается в том, что она характеризует способность точки, на которую действует консервативная сила, совершать работу.
Потенциальная энергия в поле сил гравитациивычисляется по формуле:
, (17)
где 
массы бесконечно малых тел; 
расстояние между ними; 
гравитационная постоянная. Данную формулу можно применять и для однородных тел сферической формы, например, для планет. В этом случае в качестве расстояния 
берется расстояние от тела до центра масс планеты.
Потенциальная энергия в поле силы тяжести. Для материальной точки массой 
, поднятой на высоту 
над поверхностью Земли, потенциальная энергия вычисляется по формуле:
. (18)
Для тел, размерами которых нельзя пренебречь, потенциальная энергия силы тяжести находится по формуле:
, (19)
где 
высота центра масс тела.
Потенциальная энергия сил упругости равна
, (20)
где 
коэффициент жесткости пружины; 
– величина деформации пружины.
Потенциальная энергия в поле сил Кулонанаходится из соотношения:
, (21)
где 
– величина точечных зарядов; расстояние между ними; 
постоянная, 
– диэлектрическая проницаемость среды.
Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком
, (22)
где 
– соответственно конечная и начальная потенциальная энергия.
Величина, которая характеризует способность движущейся точки (тела) совершать работу, называется кинетической энергией.
Для материальной точки кинетическая энергия вычисляется по формуле
, (23)
где – масса точки; 
– ее скорость.
Кинетическая энергия системы материальных точек находится по формуле
, (24)
Теорема об изменение кинетической энергии. Изменение кинетической энергии точки отсчета равно сумме работ всех сил, действующих на нее[11]
. (25)
Полная механическая энергия точки (тела) равна сумме кинетической и потенциальной энергии
. (27)
Теорема об изменении механической энергии. Изменение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех неконсервативных сил действующих на эту точку, т.е.:
, (28)
где 
изменение механической энергии; 
сумма работ неконсервативных сил. Из данного утверждения следует, что механическая энергия материальной точки не изменяется с течением времени, если сумма работ неконсервативных сил 
равна нулю. Условие 
выполняется в следующих случаях:
1. На материальную точку действуют только консервативные силы.
2. На материальную точку действуют и консервативные и неконсервативные силы, однако сумма работ неконсервативных сил равна нулю.
Аналогичное утверждение справедливо и для системы, состоящей из 
материальных точек.
В тех случаях, когда возникает необходимость использовать теорему об изменении кинетической энергии, требуется соблюдать следующие методические рекомендации:
1. Изобразить все силы, действующие на материальную точку или тело, после чего записать теорему об изменении кинетической энергии с учетом конкретных сил, действующих на тело или материальную точку.
2. Изобразить на рисунке вектор перемещения. Используя условие задачи, выяснить, работа каких сил равна нулю (работа силы равна нулю в том случае, когда вектор силы перпендикулярен перемещению). С учетом этого упростить записанное выражение для изменения кинетической энергии.
При решении задач с использованием соотношение (28) необходимо придерживаться следующих методических рекомендаций:
1. Изобразить все силы, действующие на тело или систему тел. Выяснить, какие из этих сил являются консервативными, а какие неконсервативными.
2. В том случае, когда на тело или систему тел действуют только консервативные силы, записать закон сохранения механической энергии.
3. При наличии неконсервативных сил необходимо выразить изменение механической энергии через алгебраическую сумму работ этих сил.
Примеры решения задач
Задача №20. Цепь массой  и длиной  лежит на горизонтальной поверхности пола. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы ее оторвать от поверхности пола?
|
Для подъема цепи мы прикладываем такую величину внешней силы 
, при которой цепь поднимается с минимальной скоростью. В этом случае кинетической энергией цепи можно пренебречь. Формулу (10) для определения работы силы применять нельзя, так как при подъеме увеличивается величина силы . Увеличение величины внешней силы связано с тем, что при подъеме цепи увеличивается масса цепи, оторвавшейся от горизонтальной поверхности. Поскольку подъем цепи совершается равномерно, то в любой момент времени величина внешней силы равна силе тяжести той части цепи, которая уже оторвалась от поверхности. В данной задаче мы сталкиваемся с работой переменной силы. Выразим работу этой силы через работу силы тяжести. Выразим работу силы тяжести через изменение потенциальной энергии:
,
где 
конечная величина потенциальной энергии цепи; 
начальная величина потенциальной энергии; 
высота центра масс поднятой цепи над горизонтальной поверхностью; 
высота центра масс цепи, лежащей на горизонтальной поверхности. Если пренебречь поперечными размерами цепи по сравнению с ее длиной, то в этом случае 
. С учетом этого имеем соотношение:
.
Поскольку в любой момент времени вектор внешней силы направлен против вектора силы тяжести поднятой части цепи и, кроме того, величины этих сил равны, то работа внешней силы равна работе силы тяжести, взятой с противоположным знаком, т.е.:
.
Учитывая, что высота центра масс однородной цепи равна половине ее длины, имеем окончательное равенство для определения работы внешней силы:
.
Находим величину работы:
.
Ответ: 
.
Задача №21. Фигурист массой  , стоящий на льду, ловит мяч массой  , летящий горизонтально со скоростью  . На какое расстояние откатится фигурист с мячом, если коэффициент трения коньков о лед равен  ?
|
На фигуриста в момент столкновения с мячом действуют силы: сила тяжести 
, сила реакции 
и сила трения 
. На мяч в момент столкновения действует сила тяжести 
. Изобразим все внешние силы, действующие на механическую систему «фигурист – мяч». Запишем закон изменения импульса рассматриваемой системы в течение времени столкновения 
:
.
Спроектировав данное векторное равенство на ось ОХ, получим следующее равенство:
.
Векторы , и перпендикулярны оси ОХ, поэтому проекции этих векторов на эту ось равны нулю. С учетом этого получим равенство:
.
Выразив величину конечного 
и начального 
импульсов через массы тел и их скорости, и, подставив в предыдущее равенство, будем иметь соотношение:
,
где 
, 
– соответственно величина конечного и начального импульса системы.
Величина силы трения имеет конечное значение ( 
), а время взаимодействия мяча с фигуристом бесконечно мало, поэтому импульсом силы трения ( 
) можно пренебречь. С учетом этого предположения из предыдущего равенства находим скорость системы после взаимодействия
. (21.1)
Учитывая, что величина кинетической энергии системы в момент остановки равна нулю, запишем теорему об изменении кинетической энергии системы поле взаимодействия
,
где 
– соответственно работа силы трения, силы реакции и силы тяжести. Работа двух последних сил равна нулю, так как угол между направлением этих сил и направлением вектора перемещения равен 
. Учитывая, что 
, получим соотношение:
.
Отсюда находим величину перемещения, пройденного фигуристом до остановки:
.
С учетом равенства (21.1) получим выражение для определения 
:
Ответ: 
.
Задача №22. С наклонной плоскости высотой  и углом наклона  начинает двигаться тело. Скорость тела в конце наклонной плоскости равна  . Найти коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью.
|
Изобразим на рисунке все силы, действующие на тело, движущееся по наклонной плоскости. Запишем выражение для изменения кинетической энергии за все время движения тела по наклонной плоскости:
, (22.1)
где 
скорость тела в начале спуска; 
скорость тела в конце наклонной плоскости. Работа силы реакции в данной задаче равна нулю, т.к. угол между вектором этой силы и вектором перемещения равен . По условию задачи, величина начальной скорости 
равна нулю. Используя определение механической работы, найдем работу силы тяжести и силы трения скольжения:
,
где 
длина наклонной плоскости. Подставив полученные выражения для работ в равенство (22.1), получим следующее соотношение:
. (22.2)
Учитывая, что 
, и проведя математические преобразования, получим выражение для изменения кинетической энергии тела:
Подставив в последнее выражение числовые данные, найдем коэффициент трения:
Ответ: 
.
Задача №23. Из орудия массы  вылетает снаряд массы  в горизонтальном направлении со скоростью  . После выстрела орудие откатывается на расстояние  . Найти среднюю силу торможения, действовавшей на орудие.
|
На систему «снаряд – орудие» во время выстрела действуют следующие внешние силы: сила тяжести орудия 
, сила тяжести снаряда 
, сила реакции 
и сила торможения 
. Изобразим эти силы на рисунке. Запишем закон изменения импульса системы за время выстрела :
.
Направим ось ОХ по скорости снаряда. Спроектировав данное векторное равенство на эту ось, получим следующее соотношение:
.
Величиной импульса силы 
можно пренебречь, поскольку время выстрела является бесконечно малой величиной 
. Поэтому изменение импульса системы равно нулю, т.е. импульс системы до и после выстрела одинаков. Начальный импульс системы равен нулю. Приравняв начальный импульс системы к конечному импульсу, получим равенство:
. (23.1)
На орудие после выстрела действуют силы: , и . Запишем теорему об изменении кинетической энергии орудия при движении его до остановки:
. (23.2)
Работа силы тяжести и силы реакции равны нулю, так как угол между направлением этих сил и перемещением равен . Работа тормозящей силы равна 
. С учетом этого равенство (23.2) примет следующий вид:
. (23.3)
По условию задачи конечная кинетическая энергия орудия равна нулю. Выразив величину начальной кинетической энергии орудия 
через его начальную скорость, и поставив в равенство (23.3), получим соотношение:
. (23.4)
Найдем из равенства (23.1) начальную скорость орудия , и подставив в равенство (23.4), получим выражения, из которого вычислим силу торможения:
.
Ответ: 
.
Задача №24. С высоты  свободно падает шар массой  . Когда шар находится на высоте  , в него попадает пуля, летевшая горизонтально со скоростью  . Масса пули  . Найти скорость шара при падении на землю, зная, что пуля застряла в нем. Сопротивлением воздуха пренебречь.
|
На систему «шар — пуля» во время удара действуют внешние силы: сила тяжести шара и сила тяжести пули . Запишем закон изменения импульса системы в течение времени столкновения :
, (24.1)
где 
начальный и конечный импульс системы соответственно.
Предположим, что время столкновения является бесконечно малой величиной, т.е. 
. Отсюда следует, что 
. Последнее равенство гласит, что импульс системы до и после взаимодействия одинаков, т.е. 
. Обозначим скорость пули до взаимодействия 
, скорость шара до взаимодействия 
и скорость системы «шар — пуля» после взаимодействия 
. Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:
, (24.2)
где 
импульс системы до взаимодействия, 
импульс системы после взаимодействия. Спроектировав векторное равенство (24.2) на оси ОХ и OY, получим следующие соотношения:
,
. (24.3)
Выразив из полученных равенств 
, 
и, подставив в равенство 
, получим соотношение:
. (24.4)
На участке АВ на шар действует только его сила тяжести , которая является консервативной, поэтому механическая энергия шара на этом участке остается постоянной. Приравняем механическую энергию шара в точке 
( 
) и механическую энергию шара в точке 
, получим следующее равенство:
. (24.5)
Выразив из равенства (24.5) величину скорости 
и, подставив в равенство (24.4), получим соотношение:
. (24.6)
На участке траектории 
на систему «шар — пуля» действует сила тяжести 
, которая является консервативной, поэтому на этом участке выполняется закон сохранения механической энергии. Приравняв механическую энергию в точках 
и 
, получим выражение:
, (24.7)
где 
скорость системы в момент падения на землю.
Из данного равенства выразим скорость 
:
. (24.8)
Подставив в равенство (24.8) вместо 
правую часть соотношения (24.6), получим формулу для вычисления скорости системы в момент падения на землю:
. (24.9)
Поставив численные значения величин, входящих в последнее соотношение, найдем величину скорости :
Ответ: 
.
Задача №25. На вершине сферы радиусом  лежит тело малых размеров. От небольшого толчка тело приходит в движение. Определить высоту относительно поверхности земли, на которой тело оторвется от поверхности сферы. Силой трения тела о поверхность сферы пренебречь.
|
Пусть в точке происходит отрыв тела от поверхности сферы. В произвольной точке на тело действуют две силы: сила тяжести 
и сила реакции 
. Обе силы являются консервативными, поэтому механическая энергия тела на участке 
постоянна. Запишем закон сохранения энергии для точек 
и :
(25.1)
С учетом того, что 
и 
, преобразуем предыдущее равенство к следующему виду:
. (25.2)
В точке отрыва тела от поверхности сферы на него действует только сила тяжести. Запишем второй закон Ньютона в точке в проекции на ось ОХ:
. (25.3)
Подставим в равенство (25.3) вместо 
, получим соотношение:
. (25.4)
Из треугольника 
находим 
и, подставив в равенство (25.4), имеем следующее соотношение:
. (25.5)
Из полученного равенства найдем 
и поставим это выражение в равенство (25.2), получим уравнение для высоты 
:
. (25.6)
Сократив в последнем уравнении 
и, решив полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления высоты:
.
Ответ: 
.
Задача №26[12]. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие шайбы, каждая массы  , которые соединены между собой пружинкой. Одной из шайб сообщили начальную скорость  . Найти механическую энергию вращательного и колебательного движений этой системы .
|
На систему во время движения дествуют следующие внешние силы: 
– соответственно сила тяжести первого и второго шарика; 
– силы реакций первого и второго шарика. При установившемся движении центр масс этой системы будет совершать прямолиниейное равномерное движение со скорстью 
, и кроме того, шарики будут соверщать вращательное и колебательное движения около центра масс.
Т.К. сумма внешних сил равна нулю, то для нахождения скорости центра масс воспользуемся законом сохранения импульса:
.
Учитывая что 
, 
и 
, получим следующее выражение для скорости центра масс: 
.
Находим кинетическую энергию поступательного движения системы
.
На систему во время движения действуют консервативные силы и сила упругости пружины, а также силы реакций , при чем работа последних сил равна нулю, поэтому механическая энергия рассматриваемой системы будет постоянной во время ее движения. Запишем закон сохранения механической системы
, (26.1)
где 
– представляет собой механическую энергию колебательного и вращательного движения системы. Заметим, что механическая энергия колебательного движения представлена суммой кинетической и потенциальной энергии.
Из равенства (26.1) находим искомую энергию
.
Ответ: 
 Задача №27[13]. Нить переброшена через гладкие горизонтальные стержни 1 и 2, на ее концах и в середине подвешены одинаковой массы грузы А, В, С (см. рис.). Расстояние между стержнями равно L. В некоторый момент груз С осторожно отпустили, и система пришла в движение. Найти скорость груза С в момент, когда кинетическая энергия системы максимальна.
|
При осторожном отпускании груза С в системе возникают колебания только в плоскости чертежа. Кинетическая энергия достигает максимальной величины тогда, когда система находится в положении равновесия. Построим силы действующие на груз С в положении равновесия (рис. 1.) и определим необходимый для решения данной задачи угол 
. Запишем первый закон Ньютона в проекции на ось OY
. (27.1)
Записав условия равновесия для груза А, можно показать что 
. С учетом этого из равенства (27.1) находим величину угла : 
.
В данной задача предполагается то, что нить является нерастяжимой. С учетом этого изобразим (рис. 2.) положение груза в моменты времени 
и 
, где 
– бесконечно малый промежуток времени движения. Обозначим бесконечно малое перемещение груза через 
, а груза –– 
.
Из рис. 2 видно что перемещенияя и связаны соотношением
.
Разделим обе части последнего равенства на бесконечно малый промежуток времени движения , получим соотношение для скорости грузов и
.
Обозначим 
, и учитывая что для положения равновесия 
, получим выражение для скоростей точек и :
. (27.2)
При колебательном движении грузов на каждый из них дествуют консервативные силы 
, и кроме того силы натяжения нитей 
. Можно доказать, что сумма работ сил равна нулю, поэтому нет неконсервативных сил, совершающих работу. Следовательно в данном случае полная механическая энергия грузов 
на изменяется. Запишем закон сохранения механической энергии для начального положения и положения равновесия (рис. 3.)
.
С учетом того,что 
, и , получим упрощенное выражение для закона сохранения механической энергии:
(27.3)
Из рис. 2. видно, что перемещения грузов 
(h1) и перемещение груза (h) связаны с расстоянием между стержнями ( 
) соотношениями:
.
Из этих соотношений вместо и 
подставим в последнее равенство (27.3), получим следующее выражение:
(27.4)
Учтем, что 
и 
, найдем искомое выражение для скорости груза
.
Ответ: .
Задача №28[14]. Небольшая шайба массы без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки с высотой и попадает на доску массы  , лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис. 1.). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе и расстояние, пройденное шайбой относительно доски, если коэффициент трения шайбы о доску равен  .
|
При движении шайбы по гладкой горке, на нее действует сила тяжести 
, котрая является консервативной, а также сила реакции 
, работа которой по всей траектории шайбы на горке равна нулю, т.к. на любом бесконечно малом участке траектории сила реакции перпендикулярна ему. Поскольку нет неконсервативных сил, совершающих работу на участке АВ, то на всем протяжении этого участка полная механическая энергия не изменяется со временем. Запишем закон сохранения энергии
, (28.1)
где 
– скорость шайбы в точке В.
Из равенства (28.1) находим скорость шайбы :
. (28.2)
На систему «шайба–доска» при их совместном движении дествуют внешние силы: 
, 
– сила тяжести шайбы и доски соответствено, 
– сила реации горизонтальной поверхности. Поскольку сумма этих внешних сил равна нулю, импульс системы «шайба–доска» сохранется во времени. Запишем закон сохранения импульса системы «шайба–доска», и выразим скорость их совместного движения 
(28.3)
При проскальзывании шайбы по доске на нее со стороны доски допольнительно действуют сила реакции 
и сила трения 
, а на доску со стороны шайбы –– сила реакции 
и сила трения 
. Из указанных сил, действующих на систему «шайба–доска» неконсервативными силами, совершающие работу, являются только силы и . Запишем закон изменения полной механической энергии, которая в данном случае представлена кинетической энергией
, (28.4)
Используя соотношения (28.2) и (28.3) находим сумарную работу силы трения
.(28.5)
Изобразим на рис. 2 векторы перемещениий шайбы и доски относительно поверхности земли 
и 
, а также покажем направление сил трения и . Используем понятие работы, выразим сумарную работу силы трения через перемещения
. (28.5)
По третьему закону Ньютона 
, а также 
. С учетом последнего соотношения равенство (28.5) преобразуется к виду
. (28.6)
Очевидно, что разность перемещений шайбы и доски относительно поверхности Земли равно перемещению шайбы относительно доски, т.е.
(28.7)
Из равенства (28.7) вместо 
подставим в равенство(28.7), получим следующее соотношение:
. (28.9)
Приравняв правые части равенств (28.5) и (28.9), будем иметь искомое соотношение для вычисления перемещения шайбы относительно доски
.
Ответ: 
; 
.
[1] Здесь под силами понимаются те из них, которые являются мерой взаимодействий.
[2] Материал для дополнительного изучения
[3] Задача повышенной сложности
[4] Задача повышенной сложности
[5] Задача повышенной сложности
[6] В это выражение входят мгновенные значения сил.
[7] Материал для дополнительного изучения.
[8] Под замкнутой (изолированной) понимается система, на которую внешние силы не действуют.
[9] Вектор 
должен быть настолько малым, что на всем его протяжении вектор силы 
не менялся ни по величине, ни по направлению.
[10]Задача повышенной сложности
[11] В неинерциальных системах отсчета в сумму работ добавляют работы сил инерции.
[12] Задача повышенной сложности
[13] Задача повышенной сложности
[14] Задача повышенной сложности