Розрахунково-графічні та контрольні завдання. ДС.1 Використання теореми про рух центра мас для визначення переміщення тіл

ДС.1 Використання теореми про рух центра мас для визначення переміщення тіл

 

Визначити переміщення призми 1 по горизонтальній гладенькій поверхні, якщо центр мас тіла 2 опустився на відстань S відносно призми 1 (вар. 1.1-1.19) або тіло 2 повернулося на заданий кут навколо горизонтальної осі (вар. 1.20-1.30). В початковий момент часу матеріальна система знаходиться у спокої.

Дані для розрахунків приведені в табл. 1.1. ( )

 

Таблиця 1.1

  Варіант Рисунок 1-20 Рисунок 21-30
S, м m , кг m , кг m3, кг град. R,M r,M m , кг m , кг m3, кг град. l, м
                  0,3   0,2   0,4   0,1   0,5   0,6   0,7   0,15   0,35   0,25                                                                         0,4   0,3   0,2   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45   0,5   0,3 0,3   0,2   0,15   0,05   0,1   0,2   0,3   0,4   0,25   0,15                                       1.5                                   0,3   0,4   0,5   0,2   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45   0,55

 


Рисунок 1.1


Рисунок 1.2


Рисунок 1.3


Рисунок 1.4


Рисунок 1.5


Приклад виконання завдання

По похилій площині (рис. 1.6) призми 1 маси m1=10кг спускається вантаж 2 (m2=6кг), який тягне за допомогою невагомої вантаж 3 масою m3=4кг.

Знайти переміщення призми 1 по гладенькій горизонтальній площині, якщо тіло М2 опустилось по похилій площині на S=0,5м.

Розв’язання. Покажемо зовнішні сили, які прикладені до матеріальної системи, що складається з призми 1 та тіл 2, 3. Такими самими є: P1=m1g – сила ваги призми, P2=m2g i P3=m3g – вага відповідно другого та третього вантажів, N – реакція гладенької горизонтальної поверхні.

Рисунок 1.6

 

Запишемо теорему про рух центра мас матеріальної системи в проекціях на вісь Х:

(1.1)

де , - проекція головного вектора зовнішніх сил на вісь Х.

Оскільки = 0, то = 0. Тоді

В початковий момент часу система знаходилась у спокої і тому . Із формули (1.1) маємо:

.

Таким чином, координата ХС центра мас матеріальної системи залишається сталою незалежно від переміщень тіл, що входять у систему.

Визначимо положення центра мас системи в початковий момент часу:

(1.2)

Якщо вантаж 2 переміститься на величину , тоді тіло 3 – на , а призма 1 - і положення ХС центра мас знайдемо за формулою:

. (1.3)

Враховуючи (1.2), із формули (1.3) отримаємо:

. (1.4)

 

Переміщення та складається із відносного по призмі і переносного разом із призмою.

Тепер із формули (1.4) знаходимо переміщення призми.

Знак “мінус” вказує на те, що призма 1 перемістилася в сторону протилежну додатному напрямку осі Х.

 

 


ДС.2 Використання теореми про зміну кінетичного моменту для дослідження руху матеріальної системи

Матеріальна система (рис. 2.1-2.5) приводиться до руху моментом М, що прикладений до однорідного тіла 3. Знайти закон руху тіла 1, якщо на тіло 2 діє постійний момент опору М оп.

В початковий момент часу кутова швидкість тіла 3 - w30. Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати. Тіла 2 та 3, обертаються навколо горизонтальних осей.

Дані для розрахунку приведені в таблиці 2.1. Де R2, r2, R3 – розміри тіла 2 та 3, і2 – момент інерції тіла 2 відносно осі обертання, m1, m2, m3 – маси тіл 1, 2 та 3.

 

Таблиця 2.1

  Варіант   R2 , м   R3 , м r2 , м і2 , м m1 , кг m2 , кг m3, кг М, Н×м МОП, Н×м
                    0,4   0,3   0,5   0,6   0,55   0,3   0,35   0,25   0,15   0,55 0,25   0,2   0,3   0,5   0,3   0,15   0,25   0,1   0,05   0,4 0,2   0,1   0,2   0,4   0,25   0,2   0,2   0,2   0,2   0,35 0,3   0,2   0,4   0,5   0,35   0,3   0,25   0,2   0,1   0,4                   7,5 0,5   1,5   2,5   3,5   4,5             1,0   2,0   3,0       1,5   2,5   3,5   4,5   5,5                   65+t   50+t2   25+4t2   75+2t2   65+t   85+6t2   15+3t   20+7t2   95+7t   13+9t                  

 

Рисунок 2.1

 

Рисунок 2.2

 

Рисунок 2.3

 

Рисунок 2.4

 

Рисунок 2.5