Приклад розв’язування задачі Д2
Умова задачі. Матеріальна точка Ммасою m = 0,5 кг знахо-диться під дією сили тяжіння Рі сили F = 50sin(pt) + 4, направ-леної під кутом a = 15oдо горизонту. Положення точки М на початку руху в вертикальній системі координат xOy, рис. Д2.7, вказується параметрами а = 10м, b = 2м.
Рис. Д2.7
Складові початкової швидкості задані величинами: Vox = 10м/с, Voy = =2м/с.
Знайти кінематичні характеристики руху точки М: координати x(t), y(t), швидкість V(t), прискорення a(t). Побудувати графіки залежно-стей V(t), a(t) і траєкторії y(x). Вказати на траєкторії положення точки М при t = 3c з векторами швидкості і прискорення.
Розв’язання. Складаємо диференціальні рівняння руху точки М в проекціях на осі Oxі Oy.
, 
,
,
.
Після підстановки знайдених сум і числових скорочень диферен-ціальні ціальні рівняння руху точки М мають вигляд
, (2.1)
. (2.2)
Інтегруємо диференціальне рівняння (2.1) . Оскільки 
, то
,
. (2.3)
Оскільки 
, то
.
Після інтегрування отримаємо
. (2.4)
Для інтегралів (2.3) і (2.4) початковими умовами будуть:
x = a = 10м, Vx = Vox = 10м/с при t = 0.
Тоді сталі інтегрування С1 і С2 рівні
, 
.
Інтегруємо диференціальне рівняння (2.2). Оскільки 
, то
.
Звідки 
. (2.5)
Оскільки 
, то
,
. (2.6)
Початковими умовами для інтегралів (2.5) і (2.6) будуть
y = b = 2м, Vy = Voy = 2м/с ,
то сталі інтегрування C3 і С4 рівні:
, 
.
Із врахуванням сталих інтегрування С1, С2, С3 і С4 з перших
інтегралів (2.3) і (2.5) знаходимо складові вектора швидкості
,
(2.7)
.
А з інтегралів (2.4) і (2.6) отримуємо координати
,
(2.8)
.
Складові (2.7) дозволяють знайти модуль швидкості
(2.9)
Складові вектора прискорення записані формулами (2.1) і (2.2) 
, 
, тому модуль прискорення рівний
. (2.10)
За залежностями (2.1), (2.2), (2.7), (2.8) і формулами (2.9), (2.10) виконуємо під рахунки на ПК в програмі EXEL з кроком 0,25 для часу t. Результати наведені в таблиці Д2.2.
Числові результати дозволяють наочно аналізувати рух точки в полі сили тяжіння і сили, що задана в умові задачі. На рис. Д2.8 показана траєкторія y(x), а на рис. Д2.9 і Д2.10 графіки швидкості V(t) і прискорення a(t) .
Таблиця Д2.2
| t | x | y | Vx | Vy | V | ax | ay | a |
| 3,18 | 10,493 | 1,93 | -19,08 | 19,18 | ||||
| 0,5 | 16,636 | -4,424 | 18,649 | -4,3116 | 19,141 | 26,08 | -12,63 | 28,98 |
| 28,651 | -2,3206 | 27,31 | -11,8 | 29,75 | 1,968 | -19,07 | 19,17 | |
| 1,5 | 41,156 | -4,966 | 20,603 | -23,385 | 31,167 | -22,22 | -25,53 | 33,85 |
| 49,248 | -25,679 | 13,86 | -34,98 | 37,626 | 1,853 | -19,1 | 19,19 | |
| 2,5 | 57,806 | -51,204 | 22,484 | -42,478 | 48,062 | 26,08 | -12,63 | 28,98 |
| 71,743 | -68,202 | 31,17 | -49,96 | 58,886 | 2,045 | -19,05 | 19,16 | |
| 3,5 | 86,186 | -89,906 | 24,488 | -61,539 | 66,232 | -22,22 | -25,53 | 33,85 |
| 96,216 | -129,68 | 17,72 | -73,14 | 75,256 | 1,776 | -19,12 | 19,2 | |
| 4,5 | 106,7 | -174,3 | 26,32 | -80,645 | 84,831 | 26,08 | -12,63 | 28,98 |
| 122,56 | -210,4 | 35,03 | -88,12 | 94,827 | 2,122 | -19,03 | 19,15 | |
| 5,5 | 138,94 | -251,17 | 28,372 | -99,692 | 103,65 | -22,22 | -25,53 | 33,84 |
| 150,9 | -310 | 21,58 | -111,3 | 113,4 | 1,7 | -19,1 | 19,2 | |
| 6,5 | 163,31 | -373,72 | 30,155 | -118,81 | 122,58 | 26,08 | -12,63 | 28,98 |
| 181,09 | -428,92 | 38,89 | -126,28 | 132,13 | 2,199 | -19,01 | 19,13 | |
| 7,5 | 199,41 | -488,75 | 32,257 | -137,85 | 141,57 | -22,22 | -25,53 | 33,84 |
| 213,31 | -566,64 | 25,441 | -149,46 | 151,61 | 1,622 | -19,16 | 19,23 |
|
| |||||||||
| Рис.Д2.8 | |||||||||
|
| Рис.Д.2.8 | ||||||||
| |||||||||
|
| Рис.Д.2.9 | ||||||||
| |||||||||
| Рис.Д2.10 | |||||||||