Графическое представление критерия. Проиллюстрируем пример с выбором правой или левой дорожек на пути из точки А в точку Б

Проиллюстрируем пример с выбором правой или левой дорожек на пути из точки А в точку Б. На Рис. 4.4 частота выбора левой дорожки представлена левым столбиком, а частота выбора правой дорожки - правым столбиком гистограммы[14]. На оси ординат отмеряются относительные частоты выбора, то есть частоты выбора той или иной дорожки, отнесенные к общему количеству наблюдений. Для левой дорожки относительная частота, которая называется также частостью, составляет 19/70, то есть 0,27, а для правой дорожки 51/70, то есть 0,73.

Если бы обе дорожки выбирались равновероятно, то половина испытуемых выбрала бы правую дорожку, а половина - левую. Вероятность выбора каждой из дорожек составляла бы 0,50.

Мы видим, что отклонения эмпирических частот от этой величины довольно значительны. Возможно, различия между эмпирическим и теоретическим распределением окажутся достоверными.

На Рис. 4.5 фактически представлены две гистограммы, но столбики сгруппированы так, что слева сопоставляются частоты предпочтения левой дорожки в выборе нашего наблюдателя (1) и в выборке Т.А. Доброхотовой и Н.Н. Брагиной (2), а справа - частоты предпочтения правой дорожки в этих же двух выборках.

Мы видим, что расхождения между выборками очень незначительны. Критерий χ2,скорей всего, подтвердит совпадение двух распределений.

Ограничения критерия

1.Объем выборки должен быть достаточно большим: п≥30. При п<30 критерий χ2 дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших п.

2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f>5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод χ2, не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5*7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (n_min) определяется по формуле: n_min=k*5.

3. Выбранные разряды должны "вычерпывать" все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.

4. Необходимо вносить "поправку на непрерывность" при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение χ² уменьшается (см. Пример с по правкой на непрерывность).

5. Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду.

Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Правомерен вопрос о том, что считать числом наблюдений - количество выборов, реакций, действий или количество испытуемых, которые совершают выбор, проявляют реакции или производят действия. Если испытуемый проявляет несколько реакций, и все они регистрируются, то количество испытуемых не будет совпадать с количеством реакций. Мы можем просуммировать реакции каждого испытуемого, как, например, это делается в методике Хекхаузена для исследования мотивации достижения или в Тесте фрустрационной толерантности С. Розенцвейга, и сравнивать распределения индивидуальных сумм реакций в нескольких выборках.

В этом случае числом наблюдений будет количество испытуемых. Если же мы подсчитываем частоту реакций определенного типа в целом по выборке, то получаем распределение реакций разного типа, и в этом случае количеством наблюдений будет общее количество зарегистрированных реакций, а не количество испытуемых.

С математической точки зрения правило независимости разрядов соблюдается в обоих случаях: одно наблюдение относится к одному и только одному разряду распределения.

- Можно представить себе и такой вариант исследования, где мы изучаем распределение выборов одного испытуемого. В когнитивно-бихевиоральной терапии, например, клиенту предлагается всякий раз фиксировать точной время появления нежелательной реакции, например, приступов страха, депрессии, вспышек гнева, самоуничижающих мыслей и т. п. В дальнейшем психотерапевт анализирует полученные данные, выявляя часы, в которые неблагоприятные симптомы проявляются чаще, и помогает клиенту строить индивидуальную программу предупреждения неблагоприятных реакций.

Можно ли с помощью критерия χ2доказать, что некоторые часы являются в этом индивидуальном распределении более часто встречающимися, а другие - менее часто встречающимися? Все наблюдения - зависимы, так как они относятся к одному и тому же испытуемому; в то же время все разряды - неперекрещивающиеся, так как один и тот же приступ относится к одному и только одному разряду (в данном случае - часу дня). По-видимому, применение метода χ2 будет в данном случае некоторым упрощением. Приступы страха, гнева или депрессии могут наступать неоднократно в течение дня, и может оказаться так, что, скажем, ранний утренний, 6-часовой, и поздний вечерний, 12-часовой, приступы обычно появляются вместе, в один и тот же день: в то же время дневной 3-часовой приступ появляется не ранее как через сутки после предыдущего приступа и не менее чем за двое суток до следующего и т. п. По-видимому, речь здесь может идти о сложной математической модели или вообще о чем-то таком, чего нельзя "поверить алгеброй". И тем не менее в практических целях может оказаться полезным использовать критерий для того, чтобы выявить систематическую неравномерность наступления каких-либо значимых событий, выбора, предпочтений и т. п. у одного и того же человека.

Итак, одно и то же наблюдение должно относиться только к одному разряду. Но считать ли наблюдением каждого испытуемого или каждую исследуемую реакцию испытуемого - вопрос, решение которого зависит от целей исследования (см.. напр., Ганзен В.А., Балин В.Д., 1991, с.10).

Главное же "ограничение" критерия χ² - то, что он кажется большинству исследователей пугающе сложным.

Попытаемся преодолеть миф о непостижимой трудности критерия χ². Чтобы оживить изложение, рассмотрим шутливый литературный пример.

Шутливый пример

В гениальной комедии Н. В. Гоголя "Женитьба" у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было пятеро женихов. Одного она сразу исключила из рассмотрения, потому что он был купеческого звания, как и она сама. А из остальных она не знала, кого выбрать: "Уж как трудно решиться, так просто рассказать нельзя, как трудно. Если бы губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича, я бы тогда тотчас решилась. А теперь поди подумай! просто голова даже стала болеть. Я думаю, лучше всего кинуть жребий" (Гоголь Н.В., 1959, с. 487). И вот Агафья Тихоновна положила бумажки с четырьмя именами в ридикюль, пошарила рукою в ридикюле и вынула вместо одного — всех!

Ей хотелось, чтобы жених совмещал в себе достоинства всех четверых, и, вынимая все бумажки вместо одной, она бессознательно совершала процедуру выведения средней величины. Но вывести среднюю величину из четверых людей невозможно, и Агафья Тихоновна в смятении. Она влюблена, но не знает, в кого. "Такое несчастное положение девицы, особливо еще влюбленной" (там же, с. 487).

Вся беда в том, что ни Агафья Тихоновна, ни ее тетушка, ни сваха Фекла Ивановна не были знакомы с критерием χ2! Именно он мог бы им помочь в решении их проблемы. С его помощью можно было бы попробовать установить, в кого больше влюблена Агафья Тихоновна. Но для этого нам не нужно измерять губы Никанора Ивановича или нос Ивана Кузьмича, или объем талии дородного экзекутора Ивана Павловича; не нужно нам и пускаться на какие-нибудь опасные эксперименты, чтобы определить, насколько далеко простирается развязность Балтазара Балтазарыча. Мы эти их достоинства принимаем как данность потому лишь, что они нравятся Агафье Тихоновне. Мы принимаем их за разряды одного и того же признака, например, направленности взгляда Агафьи Тихоновны: сколько раз она взглянула на губы Никанора Ивановича? На нос Ивана Кузьмича? Благосклонно взирала на дородного Ивана Павловича или развязного Балтазара Бал-тазаровича? Внимательная сваха или тетушка вполне могла бы этот признак наблюдать. Допустим, за полчаса смотрин ею зафиксированы следующие наблюдения.

Агафья Тихоновна:

сидела с опущенными глазами 25 минут;

благосклонно смотрела на Никанора Ивановича 14 раз;

благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича 5 раз;

благосклонно смотрела на Ивана Павловича 8 раз;

благосклонно смотрела на Балтазара Балтазарыча 5 раз.[15]

Представим это в виде таблицы.

Таблица 4.1

Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между 4 женихами

женихи	Никанор Иванович	Иван Кузьмич	Иван Павлович	Балтазар Балтазарыч	Всего взглядов
Количество взглядов

Теперь нам нужно сопоставить полученные эмпирические частоты с теоретическими. Если Агафья Тихоновна никому не отдает предпочтения, то данное распределение показателя направленности ее взгляда не будет отличаться от равномерного распределения: она на всех смотрит примерно с одинаковой частотой. Но если достоинства одного из женихов чаще притягивают ее взор, то это может быть основанием для матримониального решения.

Гипотезы

Н₀: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отличается от равномерного распределения.

Теперь нам нужно определить теоретическую частоту взгляда при равномерном распределении. Если бы все взгляды невесты распределялась равномерно между 4-мя женихами, то, по-видимому, каждый из них получил бы по ¹/₄ всех ее взглядов.

Переведем эти рассуждения на более формализованный язык. Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

где п - количество наблюдений;

к - количество разрядов признака.

В нашем случае признак - взгляд невесты, направленный на кого-либо из женихов; количество разрядов признака - 4 направления взгляда, по количеству женихов; количество наблюдений - 32.

Итак, в нашем случае:

Теперь мы будем сравнивать с этой теоретической частотой всеэмпирические частоты.

На Рис. 4.6 сопоставления эмпирических частот с теоретической представлены графически. Похоже, что области расхождений достаточно значительны, и Никанор Иванович явно опережает других женихов. Иван Павлович еще может на что-то надеяться, но для Ивана Кузьмича и Балтазара Балтазарыча отставка, по-видимому, неизбежна.

Однако для того, чтобы доказать неравномерность полученного эмпирического распределения, нам необходимо произвести точные расчеты. В методе χ²они производятся с точностью до сотых, а иногда и до тысячных долей единицы.

Расчеты будем производить в таблице по алгоритму.

АЛГОРИТМ 13

Расчет критерия χ2

Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4. Определить число степеней свободы по формуле:

ν=κ-1

где κ - количество разрядов признака.

Если ν=1, внести поправку на "непрерывность".

5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.

7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как χ²_ЭМП.

8. Определить по Табл. IX Приложения 1 критические значения для данного числа степеней свободы V.

Если χ²_эмп меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны.

Если χ²_эмп равно критическому значению или превышает его, расхождения между распределениями статистически достоверны.

Все вычисления для данного случая отражены в Табл. 4.2.

Таблица 4.2

Расчет критерия χ2 при сопоставлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновны между женихами с равномерным распределением

Разряды - женихи	Эмпирическая частота взгляда (f_э_j)	Теоретическая частота (f_т)	(f_э_j-f_т)	(f_э_j-f_т)²	(f_э_j-f_т)²/ f_т
	Никанор Иванович Иван Кузьмич Иван Павлович Балтазар Балтазарыч			+6 -3 -3		4.500 1.125 1.125
Суммы					6.750

Может показаться, что удобнее суммировать все возведенные в квадрат разности между эмпирическими и теоретическими частотами, а затем уже эту сумму разделить на f_т. В данном случае это возможно, так как f_т для всех разрядов одинакова. Однако позже мы увидим, что так бывает далеко не всегда. Нужно быть внимательными или, экономя свое внимание, просто взять за правило всякий раз вычислять (f_э_i—f_т)²/f_тдо суммирования.

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма разностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по третьему столбцу) равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка. Необходимо найти и устранить ее прежде чем переходить к дальнейшим расчетам.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

где f_э_j - эмпирическая частота по j-тому разряду признака; f_т - теоретическая частота; j - порядковый номер разряда; k - количество разрядов признака. В данном случае:

Для того, чтобы установить критические значения % , нам нужно определить число степеней свободы V по формуле: ν=k-l

где k - количество разрядов. В нашем случае ν=4—1=3. По Табл. IX Приложения 1 определяем:

Построим "ось значимости". Ясно, что чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величина χ2 . Поэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости -слева.

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать Агафье Тихоновне обоснованного ответа:

χ² _эмп<χ² _кр.

Ответ: Н₀принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Но, допустим, тетушка на этом не успокоилась. Она стала внимательно следить за тем, сколько раз племянница упомянет в разговоре каждого из женихов. Допустим, ею получено следующее распределение упоминаний Агафьей Тихоновной женихов и их достоинств:

Никанор Иванович - 15 раз,

Иван Кузьмич - 6 раз,

Иван Павлович - 9 раз,

Балтазар Балтазарыч - 6 раз.

Тетушка уже видит, что похоже, Никанор Иванович ("уж такой великатный, а губы, мать моя, - малина, совсем малина") пользуется большей благосклонностью Агафьи Тихоновны, чем все остальные женихи. У нее есть два пути, чтобы это доказать статистически.

1) Суммировать все проявления благосклонности со стороны невесты: взгляды + упоминания в разговоре, - и сопоставить полученное распределение с равномерным. Поскольку количество наблюдений возросло, есть шанс, что различия окажутся достоверными.

2) Сопоставить два эмпирических распределения - взгляда и упоминаний в разговоре, - с тем, чтобы показать, что они совпадают между собой, то есть и во взглядах, и в словах Агафья Тихоновна придерживается одинаковой системы предпочтений. Проанализируем оба варианта сопоставлений. В первом случае мы будем решать уже известную нам задачу сопоставления эмпирического распределения с теоретическим. Во втором случае мы будем сопоставлять два эмпирических распределения. Первый вариант развития шутливого примера: увеличение количества наблюдений

Вначале создадим таблицу эмпирических частот, в которой будут суммированы все замеченные проявления благосклонности невесты.

Таблица 4.3

Распределение проявлений благосклонности невесты между женихами

Женихи	Никанор Иванович	Иван Кузьмич	Иван Павлович	Балтазар Балтазарыч	Всего
Количество проявлений

Теперь сформулируем гипотезы.

Н₀: Распределение проявлений благосклонности невесты (взгляды и упоминания в разговоре) не отличается от равномерного распределения. H₁: Распределение проявлений благосклонности невесты отличается от равномерного распределения.. Все расчеты произведем в таблице по алгоритму.

Таблица 4.4

Расчет критерия χ2 при сопоставлении проявлений благосклонности Агафьи Тихоновны с равномерным распределением

Разряды - женихи	Эмпирические частоты	Теоретическая частота суммарных проявлений	(f_э_j-f_т)	(f_э_j-f_т)²	(f_э_j-f_т)²/ f_т
	Ник. Ив. Ив. Куз. Ив. Пав. Бал. Бал.			-6 -6		8,47 2,12 2,12
Суммы					12,71

χ²_эмп=12,71

χ²_эмп> χ²_кр.

Ответ: H₀ отклоняется, принимается Н₁. Распределение проявлений благосклонности невесты между женихами отличается от равномерного распределения (р<0,01).

На этом примере мы убедились, что увеличение числа наблюдений повышает достоверность результата, если, конечно, в новых наблюдениях воспроизводится прежняя тенденция различий.

Второй вариант развития шутливого примера: сопоставление двух эмпирических распределений

Теперь мы должны ответить на вопрос, одинаковая ли система предпочтений проявляется во взгляде Агафьи Тихоновны и ее словах?

Сформулируем гипотезы. Н₀: Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений не различаются между собой.

H₁: Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений различаются между собой.

Для подсчета теоретических частот нам теперь придется составить специальную таблицу (Табл. 4.5). Ячейки в двух столбцах слева обозначим буквами. Для каждой из них теперь будет подсчитана особая, только к данной ячейке относящаяся, теоретическая частота. Это обусловлено тем, что количества взглядов и словесных отзывов невесты о женихах неравны; взглядов 32, а словесных отзывов - 36. Мы должны всякий раз учитывать эту пропорцию.

Таблица 4.5

Эмпирические и теоретические частоты взглядов и упоминаний о жениха

Разряды - женихи	Эмпирические частоты	Суммы	Теоретические частоты
взгляда	Упоминаний в разговоре	взгляда	Упоминаний в разговоре
	Ник. Ив. Ив. Куз. Ив. Пав. Бал. Бал.	14 А 5 В 8 Д 5 Ж	15 Б 6 Г 9 Е 6 З	13,63 А 5,17 В 7,99 Д 5,17 Ж	15,37 Б 5,83 Г 9,01 Е 5,83 З
Суммы

Рассчитаем эту пропорцию. Всего проявлений благосклонности отмечено 68, из них 32 - взгляды и 36 - словесные высказывания. Доля взглядов составит 32/68=0,47; доля упоминаний - 36/68=0,53.

Итак, во всех строках взгляды должны были бы составлять 0,47 всех проявлений по данной строке, а упоминания в разговоре - 0,53 всех проявлений. Теперь, зная суммы проявлений по каждой строке, мы можем рассчитать теоретические частоты для каждой ячейки Табл. 4.5.

f_Атеор=29*0,47=13,63

f_Бтеор=29*0,53=15,37

f_Втеор=11*0,47=5,17

f_Гтеор=11*0,53=5,83

fд_теор=17*0,47=7,99

f_E_теор=17*0,53=9,01

f_Жтеор=110,47=5,17

f_Зтеор=11*0,53=5,83

Ясно, что сумма теоретических частот по строкам будет равняться сумме всех проявлений по данной строке. Например,

f_Атеор+f_Бтеор=13.63+15,37=29

f_Втеор+f_Гтеор=5,17+5,83=11

f_Дтеор+f_Етеор=7,99+9,01=17 и т.д.

При такого рода подсчетах лучше всякий раз себя проверить. Теперь мы можем вывести общую формулу подсчета f_теордля сопоставления двух или более эмпирических распределений:

Соответствующими строкой и столбцом будут та строка и тот столбец, на пересечении которых находится данная ячейка таблицы. Теперь нам лучше всего сделать развертку Табл. 4.5, представив все ячейки от А до Ж в виде первого столбца - это будет столбец эмпирических частот. Вторым столбцом будут записаны теоретические частоты. Далее будем действовать по уже известному алгоритму. В третьем столбце будет представлены разности эмпирических и теоретических частот, в четвертом - квадраты этих разностей, а в пятом - результаты деления этих квадратов разностей на соответствующие каждой строке теоретические частоты. Сумма в нижнем правом углу таблицы и будет представлять собой эмпирическую величину % (Табл. 4.6).

Таблица 4.6

Расчет критерия χ2 при сопоставлении распределений невербальных и вербальных признаков благосклонности невесты

Ячейки таблицы частот	Эмпирическая частота взгляда (f_э_j)	Теоретическая частота (f_т)	(f_э_j-f_т)	(f_э_j-f_т)²	(f_э_j-f_т)²/ f_т
	А Б В Г Д Е Ж З		13,63 15,37 5,17 5,83 7,99 9,01 5,17 5,83	+0,37 -0,37 -0,17 +0,17 +0,01 -0,01 -0,17 +0,17	0,14 0,14 0,03 0,02 0,00 0,00 0,03 0,02	0,01 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00
Суммы					0,04

Число степеней свободы при сопоставлении двух эмпирических распределений определяется по формуле:

v=(k-1)·(c-1)

где k - количество разрядов признака (строк в таблице эмпирических частот);

с - количество сравниваемых распределений (столбцов в таблице эмпирических частот).

В данном случае таблицей эмпирических частот является левая, эмпирическая часть таблицы 4.5, а не на ее развертка (Табл. 4.6). Количество разрядов - это количество женихов, поэтому k=4. Количество сопоставляемых распределений с=2. Итак, для данного случая,

v=(4-l)(2-t)=3

Определяем по Табл. IX Приложения 1 критические значения для ν=З:

Ответ: Н₀ принимается. Распределения невербально и вербально выражаемых невестой предпочтений не различаются между собой.

Итак, Агафья Тихоновна весьма последовательна в проявлении своих предпочтений, хотя, по-видимому, сама этого пока не замечает.

Иллюстрация 2

Третий вариант развития шутливого примера: сопоставление встречных выборов

К сожалению, в этом пункте мы от комедии вынуждены перейти к драме - истинной драме любви. Ибо, судя по тексту пьесы, проявляемые женихами признаки влюбленности и симпатии по отношению к невесте отнюдь не соответствуют ее собственной системе предпочтений. У Ивана Павловича, а, главное, у Никанора Ивановича, которому невестой отдается столь явное предпочтение, проскальзывают в разговоре по большей части как раз отрицательные и задумчиво-неодобрительные отзывы о невесте: "Нос велик... Нет, не то, не то... Я даже думаю, что вряд ли она знакома с обхождением высшего общества. Да и знает ли она еще по-французски".

Благосклонных отзывов ("А сказать правду - мне понравилась она потому, что полная женщина" и т. п.) поступило:

от Никанора Ивановича - ни одного;

от Ивана Кузьмича - 15*

от Ивана Павловича - 6*

от Балтазара Балтазарыча - 18.

Попробуем ответить на вопрос: согласуются ли распределения (благосклонных отзывов невесты о женихах и женихов о невесте?

Мы видим, что это действительно особая задача. Мы сопоставляем два эмпирических распределения с совпадающей классификацией разрядов, но в одном случае это распределение реакций одного человека на четверых других, а в другом случае это реакции четырех человек на одного и того же человека.

Такая модель взаимных реакций может использоваться отнюдь не только в области брачных консультаций, но и в решении задач "построения команды", выбора заместителя, подбора пар в тех видах деятельности, где требуется активное постоянное взаимодействие, в исследованиях социальной перцепции и взаимного влияния, в тренинге сенситивности и др.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Распределение положительных отзывов невесты совпадает с распределением положительных отзывов женихов.

H₁: Распределение положительных отзывов невесты не совпадает с распределением положительных отзывов женихов.

Построим таблицу для подсчета теоретических частот.

Таблица 4.7

Эмпирические и теоретические частоты положительных высказываний невесты о женихах и женихов о невесте

	Эмпирические частоты	Суммы	Теоретические частоты
Разряды-женихи	Положительных высказываний невесты о женихах	Положительных высказываний женихов о невесте	Положительных высказываний невесты о женихах	Положительных высказываний женихов о невесте
	Ник. Ив. Ив. Куз. Ив. Пав. Бал. Бал.	15 А 6 В 9 Д 6 Ж	0 Б 15 Г 6 Е 18 З		7,20 А 10,08 В 7,20 Д 11,52 Ж	7,80 Б 10,92 Г 7,80 Е 12,48 З
Суммы

Теоретические частоты рассчитываем по уже известной формуле:

f_а_теор=15*36/75=7,20

f_{Б теор}=15*39/75=7,80

f_{В теор}=21*36/75=10,08

f_{Г теор}=21*39/75=10,92

f_{Д теор}=15*36/75=7,20

f_Е _теор=15*39/75=7,80

f_Ж _теор=24*36/75=11,52

f_З _теор=24*39/75=12,48

Суммы теоретических частот по строкам совпадают. Все дальнейшие расчеты выполним в таблице по алгоритму.

Таблица 4.8

Расчет критерия χ2 при сопоставлении распределений высказываний невесты о женихах и женихов о невесте

Ячейки таблицы частот	Эмпирическая частота взгляда (f_э_j)	Теоретическая частота (f_т)	(f_э_j-f_т)	(f_э_j-f_т)²	(f_э_j-f_т)²/ f_т
	А Б В Г Д Е Ж З		7,20 7,80 10,08 10,92 7,20 7,80 11,52 12,48	+7,80 -7,80 -4,08 +4,08 +1,80 -1,80 -5,52 +5,52	60,84 60,84 16,65 16,65 3,24 3,24 30,47 30,47	8,45 7,80 1,65 1,52 0,45 0,42 2,64 2,44
Суммы					25,37

Определим число степеней свободы V по количеству строк k и столбцов с в левой части Табл. 4.7: (k=4, c=2).

v=(k-1)(c-1)

Критические значения χ2 для ν=3 нам уже известны:

Ответ: Н₀ отвергается. Принимается H₁. Распределение положительных отзывов предпочтений невесты не совпадает с распределением положительных отзывов женихов (ρ<0,01).

Итак, если бы Иван Кузьмич Подколесин не сбежал, Агафью Тихоновну могло бы ожидать не меньшее разочарование: предпочитаемый ею Никанор Иванович, "тонкого поведения человек", ее отвергает.

Мы не рассмотрели лишь третью группу возможных гипотез в методе χ2. Они, как мы помним, касаются сопоставлений одновременно 3 и более распределений. Принцип расчетов там такой же, как и при сопоставлении двух эмпирических распределений. Это касается и формулы расчета теоретических частот, и алгоритма последующих расчетов.

Рассмотрим особые случаи в применении метода χ2 .