Диполь в электрическом поле

Электрический диполь – электронейтральная в целом система зарядов малого размера. Простейший диполь – это два точечных, одинаковых по величине и разных по знаку заряда, расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием r от диполя то точки наблюдения.

Плечо простейшего диполя – это вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.

Электрический дипольный момент такого диполя вычисляется по формуле:

= q×. (2.3.26)

В электрическом поле на диполь действует момент сил, модуль которого определяется выражением

М = р_еЕ_внsinq, (2.3.27)

где q – угол между векторами и .

Пример 8. Диполь находится в электрическом поле, плечо диполя составляет 10^–10м, его заряд 1,6×10^–19 Кл. Найти дипольный момент такого диполя.

Дано: l = 10^–10м,

q = 1,6×10^–19 Кл.

Найти: р_е.

Решение. Дипольный момент диполя найдем с помощью формулы (2.3.26):

р_е = q× l = 1,6×10^–29Кл×м.

Ответ: 1,6×10^–29Кл×м.

Пример 9. Диполь находится во внешнем электрическом поле напряженностью Е = 1000 В/м. Дипольный момент диполя составляет 4×10^–20 Кл×м. В начальный момент времени диполь ориентирован перпендикулярно линиям напряженности электрического поля. Найти модуль момента сил, действующих на диполь в электрическом поле.

Дано: Е_вн = 1000 В/м,

р_е = 4×10^–20 Кл×м,

Найти: М.

Решение. Модуль момента сил, действующих на диполь в электрическом поле, найдем с помощью формулы (2.3.27):

М = р_еЕ_внsinq.

По условию задачи q = 90°, sinq = 1, поэтому

М = р_еЕ_вн (2.3.28)

После подстановки числовых данных в (2.3.28), получим окончательный ответ:

М = p_e×E_вн = 4×10^–17Н×м.

Ответ: 4×10^–17Н×м.

Мкость. Конденсаторы

Электрическое поле внутри плоского конденсатора заключено строго внутри него, энергия W этого поля вычисляется по формуле

W = ee₀E²V/2 = CU²/2 = q²/2C. (2.3.29)

Здесь W – энергия электрического поля внутри конденсатора, e – диэлектрическая проницаемость среды, которой заполнен конденсатор, e₀ – электрическая постоянная, E – напряженность электрического поля конденсатора, V – объем пространства внутри конденсатора, C – емкость конденсатора, U – напряжение между обкладками конденсатора, q – заряд на обкладках конденсатора.

Емкость плоского конденсатора:

C = q/U = ee₀S/d, (2.3.30)

где S – площадь обкладок конденсатора, d – расстояние между его обкладками.

Если конденсатор воздушный, то e = 1.

Между напряженностью E электрического поля конденсатора и напряжением U на его обкладках существует связь:

U = E×d, (2.3.31)

Поверхностная плотность заряда s на обкладках плоского конденсатора – это заряд единицы площади, определяемый выражением:

q = s×S, (2.3.32)

S – площадь пластин (обкладок) конденсатора, причем

S = a×b – площадь прямоугольных пластин плоского конденсатора,

S = a² – площадь квадратных пластин плоского конденсатора,

S = p×r² – площадь пластин-дисков плоского конденсатора.

Электроемкость батареи, состоящей из параллельно соединенных конденсаторов,

С = S С_i, (2.3.33)

а из последовательно соединенных конденсаторов –

1/С = S(1/С_i), (2.3.34)

где С_i – электроемкость отдельного конденсатора.

Пример 10.Найти энергию электрического поля внутри плоского воздушного конденсатора, если известны напряженность поля конденсатора Е = 1000 В/м, площадь пластин S = 10 см², а также расстояние между пластинами d = 1 мм.

Дано: Е = 1000 В/м,

S = 10 см² = 1×10^–3 м²,

d = 1 мм = 0,001 м.

e = 1.

Найти: W.

Решение. Для расчета энергии электрического поля внутри конденсатора запишем формулу (29):

W = ee₀E²V/2.

Объем поля конденсатора равен объему пространства внутри конденсатора, поэтому

V = S×d (2.3.35)

Подставим (2.3.35) в (2.3.29):

W = ee₀E²V/2 = ee₀E²S×d/2. (2.3.36)

После подстановки в (2.3.36) числовых данных, получим искомую энергию поля внутри конденсатора:

W = ee₀E²S×d/2 = 4,4×10^–12 Дж.

Ответ: 4,4×10^–12 Дж.

Пример 11.Найти энергию электрического поля плоского воздушного конденсатора с зарядом на обкладках, равным 2 нКл (заряд распределен по поверхности обкладок равномерно) и расстоянием между обкладками 1 мм. Обкладки конденсатора имеют форму дисков радиусом 10 см. Найти напряжение между обкладками конденсатора.

Дано: e = 1,

d = 1 мм = 0,001 м,

r = 10 см = 0,1 м,

q = 2 нКл = 2×10^–9 Кл.

Найти: W, U.

Решение. Для расчета энергии электрического поля конденсатора используем исходную формулу (2.3.29):

W = q²/2C,

Емкость плоского конденсатора будем рассчитывать по формуле (2.3.30):

C = ee₀S/d .

Обкладки конденсатора – диски, поэтому площадь обкладок будет вычисляться по формуле

S = p×r². (2.3.37)

Подставим (2.3.37) в (2.3.30) и получим формулу для расчета емкости конденсатора:

C = ee₀S/d = ee₀p×r²/d . (2.3.38)

Подставим (2.3.38) в (2.3.29) и рассчитаем энергию поля внутри конденсатора:

W = q²/2C = q²/2(ee₀p×r²/d) = q²d/(2ee₀p×r²) = 7,2×10^–9 Дж.

Напряжение между обкладками конденсатора найдем по формуле (2.3.31):

U = E×d,

а напряженность поля внутри конденсатора – по формуле

E = s/e₀, (2.3.39)

где s – поверхностная плотность заряда обкладок конденсатора, которую выразим из (2.3.32): s = q/S.

Таким образом,

E = s/e₀ = q/Se₀ = q/p×r²e₀,

U = E×d = (q× d)/(p×r²e₀) = 7,2 В.

Ответ: 7,2×10^–9 Дж; 7,2 В.

Пример 12.Вычислите электроемкость тела человека, считая ее равной электроемкости электропроводящего шара того же объема. Среднюю плотность тела принять равной 1 г/см³, масса человека составляет 60 кг.

Дано: r = 1 г/см³ = 1000 кг/м³,

m = 60 кг,

Найти: С.

Решение. Емкость проводящего шара будем искать по формуле

C = 4pe₀R .

Объем шара: V = (4/3)p R³, откуда выразим радиус шара:

R = [(3V)/(4p)]^1/3.

Объем тела человека можно выразить через массу и плотность следующим образом:

V = m/r, поэтому R = [(3m)/(4pr)]^1/3, поскольку по условию задачи объемы проводящего шара и тела человека равны, а емкость тела человека окончательно

C = 4pe₀R = 4pe₀[(3m)/(4pr)]^1/3 = 9 пФ.

Законы постоянного тока

Сила тока – это заряд, потекший по проводнику за единицу времени:

I = dq/dt. (2.3.40)

Плотность тока задается выражением:

j = I/S, (2.3.41)

где S – площадь поперечного сечения проводника, перпендикулярная направлению тока.

Закон Ома для однородного участка цепи:

U = IR, (2.3.42)

где U – напряжение (разность потенциалов) на участке однородного проводника, I – сила тока на участке, R – сопротивление проводника.

В случае если проводник однородный, сопротивление можно выразить следующей формулой:

R = rl/S, (2.3.43)

здесь r – удельное сопротивление проводника, l – длина проводника, S – площадь поперечного сечения проводника.

Закон Джоуля-Ленца:

Q =ò I²Rdt, (2.3.44)

где Q – количество тепла, выделившееся на участке однородного проводника с сопротивлением R за время t.

Количество тепла, выделившегося на участке однородного проводника с сопротивлением R в единицу времени, называют мощностью постоянного тока:

P = IU = I²R. (2.3.45)

Коэффициент полезного действия источника тока – это отношение полезной мощности к затраченной:

h = Р_полезн/Р_затр. (2.3.46)

В медицине используют постоянный электрический ток для лечебных и диагностических целей. Электрофорез – это метод, основанный на введении лекарственного средства через кожу или слизистые оболочки под действием постоянного тока.

Масса m вещества, введенного при электрофорезе, может быть рассчитана по формуле

m = (AIt)/(FZ), (2.3.47)

где A – молярная масса вещества, Z – валентность иона, F – постоянная Фарадея (F = 96000 Кл/моль), I – сила тока в электролите, t – время протекания процедуры электрофореза.

Гальванизация — физиотерапевтический метод, основанный на пропускании через ткани организма постоянного тока под напряжением 60–80 В.

При гальванизации различных участков тела используют следующие различные токи:

конечности — 20–30 мА,

туловище — 15–20 мА,

части лица — 3–5 мА,

слизистые оболочки — 2–3 мА.

При проведении гальванизации в подлежащих тканях активизируются системы регуляции локального кровотока. Происходит расширение просвета дермальных сосудов и возникает гиперемия кожных покровов. Расширение капилляров и повышение проницаемости их стенок происходит не только в месте приложения электродов, но и в глубоко расположенных тканях, через которые проходит постоянный электрический ток.

Пример 13.Заряд, протекающий по проводнику, изменяется со временем по закону q(t) = Аt²+Вt³. Найти силу тока в проводнике через одну секунду после начала протекания по нему заряда.

Дано: q(t) = Аt²+Вt³,

А = 1Кл/с², В = 1 Кл/с³,

t = 1 c.

Найти: I.

Решение. Используем формулу (2.3.40) как исходную для нахождения силы тока в проводнике и подставим в нее числовые данные:

I = dq/dt = 2Аt + 3Вt² = 5 А.

Ответ: 5 А.

Пример 14.Имеется однородный проводник с удельным сопротивлением 10^–7 Ом×м, силой тока 4 А. Длина проводника составляет 1 м, площадь его поперечного сечения равна 1 мм². Найти напряжение на концах этого проводника.

Дано: r = 10^–7 Ом×м,

I = 4 A,

l = 1 м,

S = 1 мм² = 1×10^–6 м².

Найти: U.

Решение. Запишем исходные формулы для решения этой задачи – формулы (2.3.42) и (2.3.43):

U = IR,

R = rl/S.

Подставим (2.3.43) в (2.3.42), получим:

U = IR = (Irl)/S = 0,4 В.

Ответ: 0,4 В.

Пример 15. Сила тока на участке однородного проводника составляет 2 А, сопротивление проводника 1 Ом. Найти количество тепла, выделившегося на этом участке проводника за 20 секунд.

Дано: I = 2 A,

R = 1 Ом,

t = 20 с.

Найти: Q.

Решение. Исходной формулой для решения этой задачи является закон Джоуля-Ленца (2.3.44):

Q = òI²Rdt = I²R = 80 Дж.

Ответ: 80 Дж.

Пример 16. Определить плотность тока при гальванизации конечностей пациента, если ток равен 20 мА, а размер электродов составляет 15´15 см².

Дано: I = 20 мА = 20×10^–3 А,

S = 15´15 см² = 225×10^–4 м²

Найти: j.

Решение. Для нахождения плотности тока гальванизации используем формулу (2.3.41):

j = I/S = 0,089 А/м².

Ответ: 0,089 А/м².

Пример 17. Определить КПД аппарата для гальванизации «Поток–1», если максимальное напряжение в терапевтической цепи составляет 50 В при сопротивлении 1000 Ом, а мощность, потребляемая аппаратом, равна 16 Вт.

Дано: Р_затр = 16 Вт,

U = 50 В,

R = 1000 Ом.

Найти: h.

Решение. КПД аппарата для гальванизации определим по формуле (2.3.46):

h = Р_полезн/Р_затр,

где Р_полезн – полезная мощность аппарата, Р_затр – затраченная мощность, причем, как следует из (2.3.45) и (2.3.42),

Р_полезн = IU = I²R,

U = IR Þ I = U/R, откуда Р_полезн = U²/R.

Подставим последнее выражение для полезной мощности в (2.3.46) и получим КПД аппарата для гальванизации:

h = Р_полезн/Р_затр = U²/(RР_затр) = 50²/(1000×16) = 0,16,

или в процентах: h = (Р_полезн/Р_затр)×100% = 16%.

Ответ: 16%.

Пример 18. Определить количество ионов натрия, введенного пациенту при электрофорезе, если процедура продолжалась 4 минуты при плотности тока 0,05 мА/см² и площади электрода 25 см².

Дано: t = 4 мин = 240 с,

j = 0,05 мА/см² = 0,5 А/м²,

S = 25 см² = 2,5×10^–3 м²,

Z = 1 (валентность ионов натрия),

F = 96000 Кл/моль.

Найти: N.

Решение. Число ионов натрия, введенного пациенту при электрофорезе, равно произведению числа молей вещества, введенного при процедуре, и числа Авогадро:

N = N_А×n. (2.3.48)

Масса вещества, введенного пациенту при процедуре электрофореза, определяется формулой (2.3.47):

m = (AIt)/(FZ),

откуда легко выразить число молей введенного вещества:

n = m/A =(It)/(FZ). (2.3.49)

Силу тока выразим через плотность тока и площадь электродов из (2.3.41):

j = I/S Þ I = jS, тогда (2.3.49) преобразуется к виду:

n = m/A =(It)/(FZ) = (jSt)/(FZ).

Подставим (2.3.49) в (2.3.48) и получим искомое количество ионов натрия:

N = N_А×n = (N_АjSt)/(FZ) = 1,9×10¹⁸.

Ответ: 1,9×10¹⁸.