Степенные и структурные средние
Рассмотрим некоторые виды степенных и структурных средних, которые наиболее часто используются в статистике.
Степенные средние в зависимости от представления исходных данных исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:
(4.1)
где 
- значение средней величины; хi - индивидуальное значение признака; k – показатель степени средней величины; n – объем изучаемой совокупности.
Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным, представленных в виде дискретных или интервальных рядов распределения:
(4.2)
где fi – частота, показывающая, сколько раз встречается признак в совокупности
Придавая различные значения k получают следующие виды степенных средних:
ü средняя гармоническая, если k = - 1;
ü средняя геометрическая, если k = 0;
ü средняя арифметическая, если k = 1;
ü средняя квадратическая, если k = 2;
ü средняя кубическая, если k = 3 и т.д.
Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.
(4.3)
Пример
Имеются следующие данные о производстве рабочими продукции А за смену:
| № рабочего | ||||||||||
| Выпущено изделий за смену, шт |
В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.
Численные значения признака (16, 17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы:
шт.
Простая средняя арифметическая применяется в случаях, когда имеются отдельные значения признака, т.е. данные несгруппированы. Если данные представлены в виде рядов распределения или группировок, то средняя исчисляется иначе.
Пример
Имеются следующие данные:
| Группы рабочих по количеству произведенной продукции за смену, шт. | Число рабочих, f i | Середина интервала, хi | xi fi |
| 3 — 5 | |||
| 5 — 7 | |||
| 7 — 9 | |||
| 9 — 11 | |||
| 11 — 13 | |||
| ИТОГО |
Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. Исходные данные представлены в виде ряда распределения, следовательно, воспользуемся формулой арифметической взвешенной:
(4.4)
Из формулы 4.4 видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. от состава совокупности, от ее структуры. Статистический материал в результате обработки может быть представлен не только в виде дискретных рядов распределения, но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. Рассмотрим расчет средней арифметической для таких рядов.
В данном ряду варианты осредняемого признака (продукция за смену) представлены не одним числом, а в виде интервала "от - до". Рабочие первой группы производят продукцию от 3 до 5 шт., рабочие второй группы - от до 7 шт. и т. д. Таким образом, каждая группа ряда распределения имеет нижнее и верхнее значения вариант, или закрытые интервалы.
Чтобы применить 4.4, необходимо варианты признака выразить одним числом (дискретным). За такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна: (3 + 5) / 2 = 4
Дальнейший расчет производится обычным методом определения средней арифметической взвешенной: 
Итак, все рабочие произвели 750 шт. изделий за смену, а каждый в среднем произвел 7,5 шт.
В интервальных рядах распределения с открытыми интервалами условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.
В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.
Пример
Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин., третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определите среднее время, необходимое на изготовление одной детали.
Если учитывать, что каждый токарь за смену сделал одну деталь, то решение выглядит следующим образом: 
Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:
Среднее время выполнения одной детали = все время затраченное на работу / количество выполненных деталей
Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:
Это же решение можно представить иначе:
Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:
(4.5), где n – объем исследуемой совокупности.
Пример: Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по трем заводам характеризуются следующими данными:
| № завода | Издержки производства, тыс.руб. | Себестоимость единицы продукции, руб. |
Исчислим среднюю себестоимость изделия по трем заводам. Главным условием выбора формы средней является экономическое содержание показателя и исходные данные.
Средняя себестоимость изделия = Суммарные издержки производства / количество изделий
руб.
Таким образом, формулу для расчета средней гармонической взвешенной можно представить в общем виде:
(4.6)
Геометрическая средняя наиболее часто используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста. Ее расчет может производиться по формулам 4.7, 4.8.
ü простая (невзвешенная): 
(4.7)
ü взвешенная: 
(4.8)
Средняя квадратическаянаиболее часто используется при расчете показателей вариации (подробнее см. гл 5), а также для вычислений большинства сводных расчетных показателей.
ü невзвешенная (простая): 
(4.9)
ü взвешенная: 
(4.10)
В статистике используются средние величины и более высоких порядков, например, средняя кубическая и др.
Величины степенных средних, рассчитанных на основе одних и тех же индивидуальных значений признака при различных значениях степени k, не одинаковы. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют). Отсюда имеем следующее соотношение, называемое правилом мажорантности средних:
Структурные средние применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным её расчёт не может быть выполнен.
Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.
Если данные о значениях признака х представлены в интервальном вариационном ряду с равными интервалами, то медиана определяется по формуле 4.11.
(4.11)
где 
- нижняя граница интервала, который содержит медиану; 
- величина медианного интервала; 
- сумма частот или общее число наблюдений; 
- накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; 
- число наблюдений или частота медианного интервала.
Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.
В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле:
(4.12)
где: 
- нижняя граница модального интервала; h - величина модального интервала; fm- частота модального интервала; fm-1 - частота интервала, предшествующего модальному;fm+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Наряду с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно отыскать значение признака у единиц, делящих ряд на 4 равные части (“квартили”), на 10 равных частей (“децили”) или 100 равных частей (“перцентили”).
Использование в анализе вариационных рядов распределения рассмотренных выше характеристик позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.
Тренировочные задания
1.Имеются следующие данные о внешнеторговом обороте России со странами дальнего зарубежья и СНГ (млн.у.е.):
| 4квартал 1999 | 1 квартал 2000 | |
| Экспорт | ||
| Импорт |
Проведите анализ этой информации, используя относительные показатели структуры и координации.
2.Численность врачей РФ характеризуется следующими данными (на начало года, тыс. чел.)
| Всего врачей | 560,7 | 663,1 |
| в том числе | ||
| терапевтов | 127,7 | 169,0 |
| педиатров | 63,9 | 75,4 |
Проведите анализ обеспеченности врачами, если известно, что численность постоянного населения на начало 1999 составляла 139, 0 млн. чел., в том числе в возрасте до 14 лет – 30,1 млн. чел., а начало 2000г. – соответственно 147,9 млн. чел. и 31,8 млн. чел.
3. Имеются следующие данные о прибыли предприятия. Определить: средний процент выполнения плана предприятиями и сколько недополучено прибыли каждым предприятием.
| № предприятия | Получено прибыли, тыс. руб. | Выполнено плана прибыли, % |
4. С целью исследования качества деталей на предприятии проверена партия из 100 деталей. Результаты представлены в следующей таблице:
| Группы деталей по весу, г | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 | 80-90 | 90-100 | 100-110 | 110-120 | итого |
| Число деталей |
Определите моду и медиану.
- Добыча нефти и угля в РФ во втором квартале характеризуется следующими данными:
| Вид топлива | Объем добычи, млн.т | ||
| апрель | май | июнь | |
| Нефть | 23,8 | 25,0 | 24,2 |
| Уголь | 23,2 | 20,2 | 18,7 |
Теплота сгорания нефти 45,0 мДЖ/кг, угля – 26,8 мДЖ/кг. Сделать пересчет в условное топливо (29,3 мДЖ/кг) и провести анализ изменения совокупности добычи этих ресурсов.
Тестовое задание
1.К какому виду по степени охвата единиц совокупности относится показатель “Активы коммерческого банка”? а) индивидуальный; б) сводный.
2.К какому виду по временному фактору относится показатель рекламаций на продукцию предприятия? а) моментальный; б) интервальный.
3.Относительный показатель динамики численности официально зарегистрированных безработных по региону N в 1 полугодии составляет 95 %, а во 2 полугодии – 105 %. Как изменилась численность безработных в целом за год?
а) уменьшилась;
б) не изменилась;
в) увеличилась.
4.Относительный показатель реализации плана производства продукции предприятием составил 103 %, при этом объем производства по сравнению с предшествующим периодом вырос на 2 %. Что предусматривалось планом?
а) снижение объема производства;
б) рост объема производства.
5.Можно ли при расчете относительных показателей координации в качестве сравнения использовать структурную часть, имеющую удельный вес в совокупном объеме признака? а) можно; б) нельзя.
6.Сумма относительных показателей координации, рассчитанных по одной совокупности, должна быть:
а) строго равной 100;
б) меньше 100 или равной 100;
в) меньше, больше или равной 100.
7.Может ли относительный показатель интенсивности быть выражен коэффициентом? а) да; б) нет.
8.Объект А по величине исследуемого показателя превышает объект Б на 20 %. На сколько процентов объект Б меньше объекта А?
а) менее, чем на 20 %;
б) на 20 %;
в) более, чем на 20 %.
9.Может ли относительный показатель сравнения быть именованной величиной?
а) может, если исходные абсолютные показатели выражены в условно-натуральных единицах измерения;
б) не может.
10.Объем совокупности – это:
а) сумма всех значений осредняемого признака по совокупности;
б) общее число единиц совокупности.
11.Выберете правильное утверждение. Средняя величина – это:
а) обобщающий показатель, рассчитанный по качественно однородной статистической совокупности;
б) наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности;
в) количественная характеристика отдельных единиц совокупности.
12.Могут ли взвешенные и невзвешенные средние, рассчитанные по одним и тем же данным, совпадать? а) да; б) нет.
13.Может ли одно и то же исходное соотношение быть реализовано на основе различных форм средней? а) да; б) нет.
14.Как изменится средняя величина, если все варианты признака уменьшить в 1,5 раза, а все веса в 1,5 раза увеличить?
а) не изменится;
б) уменьшится;
в) возрастет.
15.Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить на 20 %? а) изменится; б) не изменится.
16.Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить на некоторую постоянную величину?
а) изменится;
б) не изменится.
17.Могут ли мода, медиана и средняя арифметическая совпадать? а) могут; б) не могут.
18.Если веса осредняемого показателя выражены в промилле, чему будет равен знаменатель при расчете средней арифметической?
а) 100;
б) 1000;
в) 10000.
19.В каких случаях используется средняя гармоническая?
а) когда известен числитель исходного соотношения;
б) когда известен знаменатель исходного соотношения
20.Может ли ряд распределения характеризоваться двумя и более модами?
а) нет;
б) может двумя;
в) может двумя и более.