ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ (ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ,
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ)
| Вид интеграла | Метод интегрирования | |
 
| Универсальная тригонометрическая подстановка
 ,  , тогда,  ,  ,
 .
| |
 ,
если  нечетная относительно  :
| Подстановка  ,  тогда
 ,
 .
| |
 ,
если нечетная относительно  :
| Подстановка  ,  тогда
 ,
 .
| |
 ,
если четная относительно и :
| Подстановка  ,
тогда  ,  ,  .
| |
 
m и n – целые числа
| 1) если m – нечетное положительное число, то подстановка ;
2) если n – нечетное положительное
число, то подстановка ;
3) если m и n – четные неотрицательные числа, то для преобразования подынтегральной функции воспользоваться формулами
 ,
 ,
 ;
4) если m и n являются одновременно четными или нечетными и хотя бы один из них отрицателен, то подстановки  ,  ;
5) если  четное отрицательное число, то подстановки , .
| |
  ,
| Подстановка  ,  ,  – дифференциальный бином.
|
| Вид интеграла | Метод интегрирования | |
 
где m – целое положительное число
| Степень тангенса и котангенса последовательно понижается с помощью формул
 ,
 .
| |
  ,
 ,
где n – четное положительное число.
| Применить формулы
 ,
 .
| |
  ,
| Интегралы от нечетной положительной степени секанса и косеканса проще всего находятся по рекрентным формулам, полученным методом интегрирования по частям
| |
  ,
 ,
 .
| Применить формулы
 ,
 ,
 .
| |
 
| Подстановка  или  или 
для преобразования подынтегрального выражения использовать формулы  ,  ,
 ,  ,
 , ,  ,  ,  ,  , 
| |
 
| Подстановка  , 
|
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
| Вид интеграла | Метод интегрирования | |||
R – рациональная функция,  ,
 - дробно-рациональные числа, т.е.
 ,  , …,  .
| Подстановка  , где s – общий знаменатель дробей  .
| |||
 ,
R – рациональная функция, ,  ,
- дробно-рациональные числа, т.е.
, , …, .
| Подстановка  , где s – общий знаменатель дробей .
| |||
1)  ,
2)  ,
3)  .
|
1)  или  или  ,
2)  или  или  ,
3)  или  или
 .
| |||
| Метод выделения полного квадрата, линейная подстановка
 
| |||
| 1) если  : первая подстановка Эйлера –
 ;
2) если  : вторая подстановка Эйлера –
 ;
3) если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни х1 и х2,
т.е.  : третья
подстановка Эйлера – 
или  .
| |||
| Интеграл вычисляется с помощью вспомогательного соотношения
 ,
где  - многочлен с неопределенными коэффициентами, постоянные  ,  находятся дифференцированием вспомогательного соотношения с последующим применением метода сравнения коэффициентов при одинаковых степенях.
| |||
| Интеграл сводится к интегралу вида c помощью подстановки  .
| |||
 ,
| Подстановка 
| |||
 ,
| 2-я подстановка Абеля 
| |||
 ,
,  - многочлен степени 
| Разложить рациональную дробь  на простейшие, свести к интегралам VIII и IX.
| |||
| 1) если квадратные трехчлены  и  совпадают или отличаются множителем, то J представить в виде линейной комбинации интегралов
 и
 , для  – подстановка  , для  – вторая подстановка Абеля  ; а)  подстановка  , где µ и подбираются так, чтобы в квадратных трехчленах исчезли члены с t в первой степени. б)  подстановка  .
| |||