Указания к решению задачи № 2
Для заданной расчётной схемы (рисунок 3.6) необходимо:
1) показать на расчетной схеме реакции опор и определить их величину;
2) составить в общем виде уравнение поперечной силы Q(х) и изгибающего момента М(х) для всех участков. Построить эпюры изменения поперечной силы Q(х) и изгибающего момента М(х) по длине балки;
3) из построенной эпюры изгибающего момента М(х) найти его максимальное по модулю значение. Из условия прочности определить размеры поперечного сечения балки и сравнить его по погонной массе с двутавром.
| Таблица 3.1 | |||||||||||
| Наименование задаваемой величины | Обозначение | Варианты исходных данных | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| Сосредоточенная сила | Р, кН | ||||||||||
| Изгибающий момент | М, кН∙м | ||||||||||
| Распределенная нагрузка | q, кН/м | ||||||||||
| Длина участка | а, м | ||||||||||
| Длина участка | b, м | ||||||||||
| Допускаемое напряжение | [σ], МПа | ||||||||||
| Формы сечения | I-й случай | круг | квадрат | прямоугольник b/h=0,4 | |||||||
| II-й случай | Двутавр |
Рисунок 3.6
Пример решения задачи № 2
Р = 5 кН
М = 7 кН∙м
q = 4 кН/м
а = 3 м
b = 6 м
[σ] = 80 МПа
1) Обозначим реакции опор RA и RВ и определим их величину, используя уравнения равновесия для плоской системы сил:
Проверка:
;
;
.
Реакции RA и RВ определены верно:
RA = −4,33 кН; RB = 21,33 кН.
Обозначим участки слева направо I и II и сделаем два произвольных сечения:
- на участке I сечение находится на расстоянии х1 от левой опоры (точка А);
- на участке II сечение находится на расстоянии х2 от точки приложения силы Р.
2) Используя правила знаков для определения поперечной силы Q(х) и изгибающего момента М(х), изложенные в указаниях к решению данной задачи, составим общие выражения Q(х) и М(х) по участкам I и II и определим их величину в соответствующих точках.
I участок 0 ≤ х1 ≤ b
На участке I поперечная сила определяется следующим образом:
Q(x1) = RA = −4,33 кН.
Строим эпюру Q(x1) под расчетной схемой балки с соблюдением масштаба.
Уравнение изгибающего момента на участке I имеет вид:
– линейное уравнение (уравнение прямой линии), поэтому для построения эпюры достаточно знать координаты 2-х точек.
;
.
Строим эпюру M(x1).
II участок 0 ≤ х2 ≤ a
Поперечная сила:
(уравнение прямой линии)
;
.
Строим эпюру Q(x2) .
Уравнение изгибающего момента:
(уравнение параболы).
Участок кривой (параболы) необходимо строить по 3-м точкам. В нашем примере эпюра поперечных сил не принимает нулевого значения, значит участок параболы не содержит ее вершину на участке II и мы находим координаты трех точек:
;
;
.
Строим эпюру M(x2).
3) Определяем размеры поперечного сечения (прямоугольника и двутавра), используя условие прочности:
; откуда 
.
Из эпюры M(x) видно, что |Mmax| = 33 кН·м.
I случай: прямоугольное сечение.
Момент сопротивления сечения для прямоугольника
; 
(см. задание); 
. Принимаем h = 184 мм.
b = 0,4∙h = 0,4·183,6 =73,44.Принимаем b = 74 мм.
Искомое сечение: b×h = (74×184) мм
Определим погонную массу балки прямоугольного сечения:
(0,74×1,84×10) дм3 × 7,8 кг/дм3 = 106,2 кг.(7,8 кг/дм3 – плотность стали)
II случай: двутавр (ГОСТ 8239-72)
Из таблицы 3.2 подбираем двутавр, у которого WZ ³ 412,5 см3. Условию удовлетворяет двутавр №30, у которого WZ = 472 см3 > 412,5 см3 и погонная масса составляет 36,5 кг. Как видно по полученным результатам, использование балки двутаврового сечения позволяет снизить массу всей балки в 3 раза по сравнению с балкой прямоугольного сечения.
| Таблица 3.2 | |||||
| Основные параметры балки двутаврового сечения (ГОСТ 8239-72) | |||||
| Номер двутавра | Размеры, мм | Площадь сечения, см2 | Момент сопротивления сечения при изгибе Wz, см3 | Погонная масса, кг | |
| Высота, h | Толщина, s | ||||
| 4,5 | 12,0 | 39,7 | 9,46 | ||
| 4,8 | 14,7 | 54,8 | 11,5 | ||
| 4,9 | 17,4 | 81,7 | 13,7 | ||
| 5,0 | 20,2 | 15,9 | |||
| 5,1 | 23,4 | 18,4 | |||
| 5,2 | 26,8 | 21,0 | |||
| 5,4 | 30,6 | 24,0 | |||
| 5,6 | 34,8 | 27,3 | |||
| 6,0 | 40,2 | 31,5 | |||
| 6,5 | 46,5 | 36,5 | |||
| 7,0 | 53,8 | 42,2 | |||
| 7,5 | 61,9 | 48,6 | |||
| 8,3 | 72,6 | 57,0 | |||
| 9,0 | 84,7 | 66,5 | |||
| 10,0 | 100,0 | 78,5 |
4. ЗАДАЧА № 3. «Расчёт круглого прямого бруса (вала) на прочность и жёсткость при кручении»
Кручением называют такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях действует один внутренний силовой фактор – крутящий момент.
Кручению подвергаются чаще всего детали цилиндрической формы (валы, торсионы и т.д.). В нашем случае рассмотрим кручение круглого прямого бруса сплошного сечения.
Применяя метод сечений, можно определить крутящий момент в любом сечении. Величина момента равна алгебраической сумме моментов сил, расположенных по одну сторону от сечения, при этом момент считается положительным, если при взгляде со стороны рассматриваемого сечения он направлен по часовой стрелке и отрицательным – против часовой.
Для определения размеров поперечного сечения используем условие прочности при кручении:
,
где Т – крутящий момент в сечении; WP – полярный момент сопротивления сечения, для круга WP = 0,2d3; [τ] – допускаемое напряжение при кручении.
Учитывая, что прочность вала не зависит от направления крутящего момента, условие прочности при кручении принимает следующий вид:
;
;
.
Для определения абсолютной деформации на участке (угла закручивания) используем следующую зависимость:
,
где Ti – крутящий момент на участке; li – длина этого участка; G – модуль упругости второго рода (для стали G = 8×104 МПа); Jp – полярный момент инерции сечения (для круга Jp= 0,1d4).
Для перевода угла закручивания из радиан в градусы используем зависимость:
.
При построения эпюр углов закручивания, угол закручивания в месте заделки принимаем равным нулю.