Задачи для самостоятельного решения. Основные теоретические положения
Основные теоретические положения.
Прямая может лежать в плоскости, пересекаться о плоскостью и быть параллельной плоскости.
Если прямая параллельна проецирующей плоскости, то на эпюре будут параллельны одноименные проекции прямой и следа плоскости.
Если прямая параллельна плоскости общего положения, то она должна быть параллельна какой-либо прямой вэтой плоскости.
Точка пересечения прямой и проецирующей плоскости на эпюре определяетсякак точка пересечения одноименных проекций и следа плоскости.
Точка пересечения прямой и плоскости общего положения определяется с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей в следующем порядке:
а) через прямую нужно провести вспомогательную проецирующую плоскость;
б) построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;
в) точка пересечения заданной прямой и построенной линии и будет искомой.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, например, главным линиям плоскости, горизонтали h и фронтали f . Тогда проекции прямой l(l1,l2), перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны соответствующим проекциям главных линий плоскости: l1^h1, l2^f2.
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной второй прямой.
Примеры решения задач.
Пример 1. Найти точку пересечения прямой m(rn1, m2) с плоскостью треугольника АВС {рис.51 ). Определить видимость, прямой относительно заданной плоскости.
Дано: Решение:
![]() |
Рис.51.
Через прямую m строится вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость b(b2) (можно взять и горизонтально-проецирующую плоскость). В этом случае следна эпюребудет совмещен с проекцией прямой m2. Далее строится линия пересечения 1 2=bÇa, положениекоторой определится точками 1 и 2, полученными от пересечения следа b2, со сторонами треугольника. Точка пересечения построенной линии с заданной прямой К=12Çm и будетискомой точкой встречи. Для определения видимости выбирается по паре конкурирующих точек на каждой проекции чертежа, например, точки 1, 3 конкурируют относительно p2 . Точка 1 (точка, принадлежащая плоскости) ближе к нам, так как дальше удалена от p2 , поэтому она и с ней отрезок АС (1ÎАС ) закрывают прямую m, часть которой 3 К будет невидима на фронтальной проекции. В точке пересечения прямой и плоскости видимость сменится и после точки К2 на фронтальной проекции прямая будет видима. Аналогично определяют видимость прямой и плоскости относительно p1, используя, например, конкурирующие точки 4-5.
Пример 2. Построить перпендикуляр к плоскости a(с||d) длиной 30мм (рис.52).
![]() |
Дано: Решение:
Рис.52
Для восстановления перпендикуляра к плоскости нужно построить главныелинии плоскости - горизонталь h(h1,h2) и фронталь f(f1,f2).
Перпендикуляр l к плоскостиможно восстанавливатьиз любойее точки, например, из точки К(К1К2) - точки пересечения горизонтали и фронтали К=hÇf при этом, l1^h1 и l2^h2.
Для того, чтобы отложить на отрезке l заданную длину 30 мм, первоначально задаются произвольной отрезком К5 (точка 5 выбирается произвольно на перпендикуляре l), определяют его натуральную величину помощью треугольника K15150 . После этого от точки К1 вдоль К150 откладывают заданную длину перпендикуляра и отыскивают проекцию L1. С помощью линий проекционной связи отыскивают вторую проекцию точки L2: l(K1L1, K2L2) ^a.
Пример 3. Определить расстояние от точки А до плоскости a(a||b) (рис.53).
![]() |
Дано: Решение:
Рис.53.
Задача решается в три этапа:
1) из точки А задать направление перпендикуляра к плоскости с помощью главных линий плоскости;
2) найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости (пример 1).
3) с помощью прямоугольного треугольника определяем истинную величину отрезка перпендикуляра между заданной плоскостью и точкой встречи перпендикуляра и плоскости. Истинная величина этого отрезка – искомое расстояние между точкой и плоскостью.
Пример 4. Через точку р(р1Р2) Îm(m1,m2) построить плоскость, перпендикулярную прямой m (рис.54).
Дано: Решение:
Рис.54.
Через точку Р нуж но провести фронталь f и горизонталь h так, чтобы h1^m1, h2^m2. В этом случае прямая m будет перпендикулярна плоскости, заданной пересекающимися главными линиями m ^b(hÇf).
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. По данной фронтальной проекции прямой а, параллельной плоскости треугольника АВС, построить ее горизонтальную проекцию (рис.55).
![]() |
Рис.55.
Задача 2. Через точку С построить плоскость, параллельную заданной прямой a. Плоскость задать треугольником (рис.56).
Рис.56
![]() |
Задача 3. Провести прямую АВ, параллельную прямой a и пересекающуюся с прямыми m и n (рис.57).
Рис.57.
![]() |
Задача 4.Через точку А провести прямую, параллельную плоскости треугольника и профильной плоскости проекций p3 (рис.58).
Рис.58.
![]() |
Задача 5. Через точку Е построить плоскость, параллельную прямым АВ и CD(рис.59).
Рис.59.
Задача 6. Найти точку пересечения прямой АВ и плоскости, заданной различными способами. Для варианта а) рис.60 определить видимость прямой относительно плоскости.
![]() |
а) б) с)
Рис.60.
Задача 7. Через точку А провести прямую, пересекающую данные прямые
![]() |
ВС и DE (рис.61).
Рис.61
![]() |
Задача 8. Построить геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек плоскости (рис.62).
Рис.62.
![]() |
Задача 9. Через точку А провести прямую, перпендикулярную a и пересекающую прямую b (рис.63).
Рис.63.
Задача 10. Построить прямую АВ, удаленную от плоскости b(aÇb) на 45 мм (рис.64).
![]() |
Рис.64
![]() |
Задача 11. Определить расстояние между двумя параллельными плоскостями (рис.65).
Рис.65.
Задача 12. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми (рис.66).
![]() |
Рис.66.
![]() |
Задача 13. На прямой АВ найти точку равноудаленную от концов отрезка DE (рис.67).
Рис.67.
Задача 14. Достроить прямую АВ, перпендикулярную прямой CD(рис.68).
![]() |
Рис.68.
Задача 15. Построить точку В, симметричную точке А относительно плоскости, заданной треугольником CDE(рис.69).
Рис.69.
Задача 16. Построить точку В, симметричную точке А относительно прямой m(m1,m2)(рис.70).
![]() |
Рис.70.