Розрахунок об’єму тіла обертання

Нехай дана неперервна функція . Побудуємо криволінійну трапецію , обмежений графіком віссю Ох і двома прямими х=а і і будемо обертати її навколо своєї осі Ох. Отримане при цьому тіло називається тілом обертання.

Для обчислення об’єму цього тіла розіб’ємо інтервал на ряд частинних інтервалів точками і проведемо через ці точки площини, які перпендикулярні осі Ох. Об’єм тіла обертання також розіб’ється на ряд частинних об’ємів . Величину можна вважати приблизно рівною об’єму циліндра з висотою і радіусом основи де . Таким чином,

Об’єм тіла обертання наближено рівний сумі частинних об’ємів:

. Об’єм буде вирахуваний точніше, чим менші частинні інтервали . Вираз є інтегральна сума функції на інтервалі , границя якої при дорівнює визначеному інтегралу. В кінці маємо

, або

, де

Якщо вважати, що крива обертається навколо осі Оу, то формула для знаходження об’єму тіла обертання має вигляд

, де

Приклад 1. Нехай фігура, обмежена прямими , х=4 і віссю Ох, обертається навколо осі Ох. Одержане тіло обертання – конус. Знайти його об’єм.

Розв’язання.

Межами інтегрування являються абсциси точок перетину прямих і х=4 з віссю Ох. Знаходимо системи і Отже, Далі знаходимо

Розв’яжемо цю задачу за допомогою формули знаходження об’єму кругового конуса. Маємо . Знаходимо радіус основи. З рівняння при х=4 → R=3

Висота конуса h=4. Таким чином,

Задача про обчислення шляху.

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з деякою миттєвою швидкістю . Треба знайти шлях, який пройде тіло за проміжок часу від t=T₁ до t=T₂.

У найпростішому випадку, якщо миттєва швидкість стала, тобто , то шлях, пройдений тілом, дорівнює (за означенням, відомим з курсу фізики) добутку швидкості на час руху:

У загальному випадку, коли миттєва швидкість не стала, роблять так.

Проміжок часу [T₁; T₂] ділять точками t₀=T₁, …, t_n-1, t_n=T₂(t₀< t₁<…< t_n) на n відрізків [t_i-1; t_i], i=1, 2, …, n, однакової довжини.

Далі, взявши на кожному відрізку [t_i-1; t_i], довільну точку складають суму

. (1)

Кожний доданок цієї суми дає наближене значення шляху, пройденого тілом за час від t=t_i-1 до t=t_i. Отже, шлях, пройдений тілом за час від t=T₁ до t=T₂, наближено виражається сумою (1).

Легко побачити, що наближення буде тим кращим, чим дрібніші відрізки поділу [t_i-1; t_i], i=1, 2, …, n. Тому шлях s, пройдений тілом за відрізок часу [T₁; T₂], визначається як границя суми (1) при :

Оскільки остання границя, за означенням, є визначний інтеграл від функції на відрізку [T₁; T₂], то шлях, пройдений тілом за проміжок часу [T₁; T₂], обчислюють за формулою

(2)

Приклад 1. Тіло рухається прямолінійно з швидкістю м/с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші 3 с.

Розв’язання. За формулою (2) дістанемо

Задача про силу тиску рідини.

Нехай пластинку у вигляді криволінійної трапеції занурено вертикально в рідину з густиною так, що її бічні сторони паралельні поверхні рідини і лежать нижче від її рівня відповідно на відстані a i b. Визначити силу тиску рідини на пластинку.

Якщо пластинка буде в горизонтальному положенні на глибині h від поверхні (рівня) рідини, то сила тиску Р рідини в ньютонах на горизонтальну пластинку дорівнюватиме вазі стовпа рідини, основа якого – дана пластинка, а висота – глибина h, тобто

, (1)

де S - площа пластинки.

А якщо пластинку занурено в рідину вертикально, то за формулою (1) тиск рідини на пластинку не можна обчислити, бо в цьому разі тиск рідини на одиницю площі пластинки змінюється із зміною глибини занурення, тобто залежить від відстані пластинки до поверхні рідини.

Розв’язуючи задачу, враховуватимемо те, що за законом Паскаля тиск у рідині передається однаково в усіх напрямках, у тому числі й на вертикальну площадку.

Для розв’язання задачі поділимо пластинку на n частин (малих горизонтальних смужок) прямими, які паралельні поверхні рідини (тобто паралельні осі Оу) і проходять через точки , де

і=0, 1, 2, …, n.

Виділимо одну із смужок на глибині х_і. Для досить вузької смужки тиск у всіх її частинах можна вважати наближено однаковим, а саму смужку можна взяти за прямокутник з висотою і основою, яка дорівнює нижній основі смужки. Легко побачити, що довжина основи прямокутника є функцією від х. Позначимо цю функцію через де . Отже, силу тиску Р_і на і-ту смужку можна обчислити за формулою (1), тобто

Підсумувавши сили тиску на всі смужки, знайдемо наближене значення сили тиску рідини на всю пластинку:

Точність наближеної рівності тим більша, чим коротші відрізки , на які поділено відрізок .

Отже, точне значення сили тиску рідини на пластинку визначають за формулою

За означенням остання границя – це визначений інтеграл від функції на відрізку [a;b], тому силу тиску рідини на пластинку обчислюють за формулою

Приклад 1. Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда. Знайти силу тиску води (густина води 1000 кг/м³), яка наповнює акваріум, на одну з його вертикальних стінок, розміри якої 0,4 х 0,7 м.

Розв’язання. Візьмемо систему координат так, щоб осі Оу і Ох відповідно містила верхню основу і бічну сторону вертикальної стіни акваріума. Щоб знайти силу тиску, скористаємось формулою (2).

Стінка має форму прямокутника, тому . Оскільки межі інтегрування a=0 i b=0,4, то дістанемо

Враховуючи, що м/с² , маємо

Робота змінної сили.

Нехай матеріальна точка під дією сили F рухається по прямій. Якщо діюча сила стала, а пройдений шлях дорівнює s, то, як відомо з курсу фізики, роботу А цієї сили F обчислюють за формулою

. (1)

Перейдемо тепер до розгляду питання про знаходження роботи змінної сили. Нехай матеріальна точка рухається по осі Ох під дією сили, проекція якої на вісь Ох - це функція від х. Позначимо її через і припускатимемо, що f – неперервна функція. Нехай під дією сили F матеріальна точка перемістилась з точки М(а) у точку М(b). Доведемо, що робота в цьому разі обчислюється за формулою

. (2)

Поділимо відрізок [a; b] точками на n частин , однакової довжини . На кожному відрізку роботу сили можна наближено обчислювати за формулою (1), тобто вважати, що вона дорівнює де - деяка точка відрізка . Тоді робота сили на відрізку [a; b] наближено виражатиметься формулою .

Точність наближення буде тим точнішою, чим коротшими є відрізки , на які поділено відрізок [a; b]. Тому, переходячи в останній рівності до границі при , дістаємо

(3)

Отже, робота змінної сили обчислюється за формулою (3).

Приклад 1. Сила пружності пружини, розтягнутої на 0,05м, дорівнює 3Н. Яку роботу треба виконати, щоб розтягти пружину на ці 0,05м?

Розв’язання. За законом Гука сила F, яка розтягує або стискає пружину, пропорційна цьому розтягу або стиску, тобто , де х – величина розтягу або стиску, k - коефіцієнт пропорційності. З умови випливає, що , тобто k=60, отже, F=60х.