Закон электромагнитной индукции. Теорема о циркуляции

1. Вычислить циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контура, охватывающего прямые бесконечные токи I₁=10 А, I₂=15 А, проходящие в одном направлении, и тока I₃= 20 А, проходящего в противоположном направлении.

2. По бесконечному прямому полому круговому цилиндру параллельно оси цилиндра проходит постоянный ток I=30 А, который равномерно распределен по его поверхности. Найти магнитную индукцию В: а) в произвольной точке внутри цилиндра; б) в точке вне цилиндра, находящейся на расстоянии 20 см от его оси.

3. В однородном магнитном поле, индукция которого В=0,8 Тл, равномерно вращается рамка с угловой скоростью w=15 рад/с. Площадь рамки 5=150 см . Ось вращения расположена в плоскости рамки и составляет с направлением поля угол a=30⁰ . Найти максимальную ЭДС индукции Е во вращающейся рамке.

4. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тонкостенную трубку радиусом R=8 мм, вдоль оси которой расположен тонкий провод. Токи в трубке и проводе равны и направлены противоположно. Найти магнитную индукцию в точках, удаленных от оси кабеля на расстояние: а) r₁ =4,0 мм, б) r₂=12 мм,если ток I=1А.

5. В однородном магнитном поле, индукция которого В, перпендикулярно к его линиям вращается с угловой скоростью проводящий стержень длиной L. Определить напряжение U, индуцируемое между концами стержня. Определить напряженность поля сторонних сил.

6. Определить магнитную индукцию В поля безграничной плоскости, по которой проходит ток с линейной плотностью t, одинаковой во всех точках плоскости.

7. Квадратная проволочная рамка со стороной а и длинный прямой провод с постоянным током I лежат в одной плоскости (смотри рисунок). Сопротивление рамки равно R. Рамку повернули на 180⁰ вокруг оси 00', отстоящей от провода с током на расстоянии b. Определить электрический заряд q, возникший в рамке. Явление самоиндукции в контуре не рассматривать.

8. Радиус средней линии тороида без сердечника R. Сечение тороида круговое и его радиус r. Обмотка равномерная и содержит N витков. Определить В_min и В_max значения магнитной индукции поля в тороиде, если по обмотке тороида проходит ток I .

9. Тонкий медный провод массой 5 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (0,2 Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить заряд, который потечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

10. Квадратная проволочная рамка со стороной а и длинный прямой провод с током лежат в одной плоскости (смотри рисунок). Расстояние от провода до ближайшей к нему стороны рамки b. Сопротивление рамки R. Определить ток , если известно, что при его выключении в рамке проходит электрический заряд q. Самоиндукцией контура пренебречь.

11. Определить магнитную индукцию В поля безграничной плоскости, по которой проходит ток с линейной плотностью t, одинаковой во всех точках плоскости.

12. На катушку сопротивлением R=10 Ом и индуктивностью L=58 мГн подается постоянное напряжение. Через какое время ток I в катушке достигнет величины, равной половине установившегося значения?

13. Коаксиальный кабель представляет собой длинную металлическую тонкостенную трубку радиусом R=8 мм, вдоль оси которой расположен тонкий провод. Токи в трубке и проводе равны и направлены противоположно. Найти магнитную индукцию в точках, удаленных от оси кабеля на расстояние: а) r₁ =4,0мм,б) r₂=12мм,если ток I=1 А.

14. В однородном магнитном поле, индукция которого В=50 мТл, помещена катушка, состоящая из N = 200 витков провода, причем ее ось составляет с направлением поля угол a= 60⁰ . Сопротивление катушки R=40 Ом, площадь ее поперечного сечения S=12 см². Какой электрический заряд пройдет по катушке при исчезновении магнитного поля?

15. Катушка имеет сопротивление R=10 Ом и индуктивность L=144 мГн. Через какое время t после включения постоянного напряжения в катушке будет проходить ток, равный половине его установившегося значения?

16. По бесконечному прямому полому круговому цилиндру параллельно оси цилиндра проходит постоянный ток I=30 А, который равномерно распределен по его поверхности. Найти магнитную индукцию В: а) в произвольной точке внутри цилиндра; б) в точке вне цилиндра, находящейся на расстоянии 20 см от его оси.

17. Магнитное поле увеличивается пропорционально времени по закону В=кt², где к=10 Тл/с². Какое количество теплоты выделится в рамке, имеющей форму квадрата со стороной а=1 м за время t=2 с? Рамка сделана из провода, поперечное сечение которого s=1,0 мм², а удельное сопротивление r= 2,9·10^-6Ом м. Плоскость рамки расположена перпендикулярно к направлению поля. Самоиндукцией рамки пренебречь.

18. Квадратная проволочная рамка со стороной а и длинный прямой провод с постоянным током I лежат в одной плоскости (смотри рисунок). Сопротивление рамки равно R. Рамку повернули на 180⁰ вокруг оси 00', отстоящей от провода с током на расстоянии b. Определить электрический заряд q, возникший в рамке. Явление самоиндукции в контуре не рассматривать.

19. Катушка имеет N = 400 витков. Ее длина l = 20 см, диаметр d = 30 мм. По катушке течет ток I=2 А. Найти: а) индуктивность L катушки; б) магнитный поток Ф, пронизывающий площадь ее поперечного сечения.

20. Длинный соленоид сечением S= 2,5 см² содержит N = 2400 витков. По виткам проходит ток I=2 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида В=20 мТл. Найти индуктивность L соленоида.

21. Металлический диск радиусом R вращают с постоянной угловой скоростью w вокруг его оси. Определить разность потенциалов между центром и ободом диска в двух случаях: а) внешнее магнитное поле отсутствует; б) имеется перпендикулярное к диску внешнее магнитное поле с индукцией В. Магнитное поле Земли не учитывать.

22. Рамка из провода сопротивлением 0,04 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (0,6 Тл). Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки 200 см². Определить заряд, который потечет по рамке при изменении угла между нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 45 градусов; 2) от 45 до 90 градусов.

23. Катушка состоит из N=200 витков провода площадью S=12 см² каждый и помещена в однородное магнитное поле так, что ее ось совпадает с направлением поля. Катушка включена в цепь баллистического гальванометра, Сопротивление катушки и гальванометра R = 5,0 кОм. Определить магнитную индукцию В поля, если при быстром повороте катушки на угол a=180⁰ вокруг ее диаметра через гальванометр проходит электрический заряд q=2,0 мкКл.

24. В средней части соленоида, содержащего 8 витков/см, помещен круговой виток диаметром 4 см. Плоскость витка расположена под углом 60 градусов к оси соленоида. Определить магнитный поток, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток 1 А.

25. На длинный картонный каркас диаметром 5 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром 0,2 мм. Определить магнитный поток, создаваемый таким соленоидом при силе тока 0,5 А.

26. Определить магнитный поток, пронизывающий соленоид, если его длина 50 см и магнитный момент 0,4 Вб.

27. В однородном магнитном поле (0,1 Тл) равномерно с частотой 5 с^-1 вращается стержень длиной 50 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов.

28. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи пошел заряд 50 мкКл. Определить изменение магнитного потока через кольцо, если сопротивление цепи гальванометра 10 Ом.

29. Проволочный виток диаметром 5 см и сопротивлением 0,02 Ом находится в однородном магнитном поле (0,3 Тл). Плоскость витка составляет угол 40⁰ с линиями индукции. Какой заряд протечет по витку при выключении магнитного поля?

30. Рамка, содержащая 200 витков тонкого провода, может свободно вращаться относительно оси, лежащей в плоскости рамки. Площадь рамки 50 см². Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля (0,05 Тл). Определить максимальную ЭДС, которая индуцируется в рамке при ее вращении с частотой 40 с^-1.

31. Прямой проводящий стержень длиной 40 см находится в однородном магнитном поле (0,1 Тл). Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи 0,5 Ом. Какая мощность потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью 10 м/с?

32. Проволочный контур площадью 500 см² и сопротивлением 0,1 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (0,5 Тл). Ось вращения лежит в плоскости кольца и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить максимальную мощность, необходимую для вращения контура с угловой скоростью 50 рад/с.

33. Кольцо из медного провода массой 10 г помещено в однородное магнитное поле (0,5 Тл) так, что плоскость кольца составляет угол 60 градусов с линиями магнитной индукции. Определить заряд, который пройдет по кольцу, если снять магнитное поле.

34. На картонный каркас длиной 0,8 и диаметром 4 см намотан в один слой провод диаметром 0,25 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить индуктивность получившегося соленоида.

35. Катушка, намотанная на магнитный цилиндрический каркас, имеет 250 витков и индуктивность 36 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до 100 мГн, обмотку катушки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Сколько витком оказалось на катушке после перемотки?

36. Соленоид содержит 800 витков. Сечение сердечника (из немагнитного материала) 10 см². По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, если сила тока уменьшается практически до нуля з время 0,8 мс.

37. По катушке индуктивностью 8 мкГн течет ток 6 А. Определить среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре, если сила тока изменится практически до нуля за время 5 мс.

38. В электрической цепи, содержащей резистор сопротивлением 20 Ом и катушку индуктивностью 0,06 Гн, течет ток 20 А. Определить силу тока в цепи через 0,2 мс после ее размыкания.

39. Цепь состоит из катушки индуктивностью 0,1 Гн и источника тока. Источник тока отключили, не разрывая цепи. Время, через которое сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения, равно 0,07 с. Определить сопротивление катушки.

40. Источник тока замкнули на катушку сопротивлением 20 Ом. Через время 0,1 с сила тока в катушке достигла 0,95 предельного значения. Определить индуктивность катушки.

41. Катушка, состоящая из 200 витков проволоки, равномерно вращается в однородном магнитном поле индукцией 0,1 Тл вокруг оси, перпендикулярной полю. Площадь поперечного сечения катушки 50 см². Сколько оборотов в секунду делает катушка, если в ней возникает э.д.с. индукции 3,14 В?

42. Виток, радиус которого 2 см, находится в однородном магнитном поле индукцией 0,1 Тл. Плоскость витка перпендикулярна полю. Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть виток вокруг его диаметра на 90, если сила тока в витке 50 А ?

43. Между полюсами магнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки S=6,0 мм², число ее витков N = 60. При повороте катушки на угол a=180⁰ вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр проходит электрический заряд q=9,0 мкКл, Найти магнитную индукцию В поля между полюсами, если полное сопротивление электрической цепи R=60 Ом.

44. Квадратная рамка со стороной а расположена в магнитном поле так, что нормаль к рамке образует с направлением поля угол a. Магнитное поле изменяется со временем по закону В=В₀cos(wt+p/2). Определить ЭДС индукции Е в рамке как функцию времени. Нарисовать графики зависимости индукции и потока от времени.

Электромагнитные колебания (свободные и затухающие)

1. Конденсатор емкостью С=16 пФ заряжается до напряжения U₀=320 В и замыкается на катушку индуктивностью L=1 мГн. Определить максимальную силу тока I₀ в образовавшемся контуре. Написать в явном виде зависимости тока и напряжения в цепи от времени и построить графики этих зависимостей. Активным сопротивлением контура пренебречь. При t=0 U_c=0.

2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=100 мГн и конденсатора емкостью С=100 пФ. Сколько времени проходит от момента, когда конденсатора полностью разряжен, до момента, когда его энергия вдвое превышает энергию катушки? Активным сопротивлением катушки пренебречь.

3. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С=8 пФ и катушку индуктивностью L=0,5 мГн. Сопротивлением контура пренебречь. Каково максимальное напряжение U₀ на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в конденсаторе I₀=40 мА? Написать в явном виде зависимости тока и напряжения в цепи от времени и построить графики этих зависимостей. Активным сопротивлением контура пренебречь. При t=0, I=0.

4. Конденсатор емкостью С=16 пФ заряжается до напряжения U₀ = 320 В и замыкается на катушку индуктивностью L=1 мГн. Определить максимальную силу тока I₀ в образовавшемся контуре. Написать в явном виде зависимости тока и напряжения в цепи от времени и построить графики этих зависимостей. Активным сопротивлением контура пренебречь. При t=0 , I=0.

5. В электрическом колебательном контуре происходят гармонические колебания с периодом Т. Определить минимальный промежуток времени, в течение которого ток в цепи изменяется от +I₀ до -I₀/2, где I₀- амплитуда колебаний тока. Сделать рисунок.

6. В электрическом колебательном контуре происходят гармонические колебания с периодом Т. Определить минимальный промежуток времени, в течение которого ток в цепи изменяется от +I₀/2 до -I₀/2, где I₀- амплитуда колебаний тока. Сделать рисунок.

7. В электрическом колебательном контуре происходят гармонические колебания с периодом Т. Определить минимальный промежуток времени, в течение которого ток в цепи изменяется от +I₀/2 до -I₀, где I₀- амплитуда колебаний тока. Сделать рисунок.

8. В резонансно настроенном колебательном контуре индуктивностью L=0,75 Гн под действием внешнего синусоидального напряжения с амплитудой 200 В установился переменный ток, амплитуда которого 20 А. Найти время t, за которое в режиме затухающих колебаний амплитуда колебаний в контуре уменьшается в 2 раза.

9. Катушку, индуктивность и сопротивление которой L=300 мГн и R=0,140 Ом, подключили к источнику постоянного напряжения. Через какое время t ток через катушку достигнет 50 % установившегося значения?

10. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=100 мГн и конденсатора емкостью С=100 пФ. Сколько времени проходит от момента, когда конденсатора полностью разряжен, до момента, когда его энергия вдвое превышает энергию катушки? Активным сопротивлением катушки пренебречь. Сделать рисунок.

11. Конденсатор емкостью С=16 пФ заряжается до напряжения U₀=320 В и замыкается на катушку индуктивностью L=1 мГн. Определить максимальную силу тока I₀ в образовавшемся контуре. Написать в явном виде зависимости тока и напряжения в цепи от времени и построить графики этих зависимостей. Активным сопротивлением контура пренебречь. При t=0, U_c=0.

12. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L=100 мГн и конденсатора емкостью С=100 пФ. Сколько времени проходит от момента, когда конденсатор полностью разряжен, до момента, когда его энергия в 3 раза превышает энергию катушки? Активным сопротивлением катушки пренебречь.

13. В электрическом колебательном контуре происходят гармонические колебания. При значении заряда на конденсаторе q₁ ток в цепи I₁ , а если заряд равен q₂ – ток равен I₂. Найти амплитуду колебания заряда на конденсаторе q₀.

14. Найти промежуток времени t, за который амплитуда колебаний силы тока в контуре с добротностью Q=5000 уменьшается в 2 раза, если частота свободных колебаний в контуре n₀= 2,2 МГц.

15. Емкость колебательного контура С=10 мкФ, индуктивность L=25 мГн и активное сопротивление R=1 Ом. Через сколько колебаний N амплитуда силы тока в контуре уменьшится в 5 раз?

16. В контуре, добротность которого Q=50 и собственная частота n_о=5,5 кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через какое время t энергия, запасенная в контуре, уменьшится в 3 раза?

17. Колебательный контур имеет емкость С=1,1 нФ и индуктивность L=5 мГн. Логарифмический декремент затухания контура l=0,005. За какое время t теряется вследствие затухания 99% энергии контура?

18. В резонансно настроенном колебательном контуре индуктивностью L=0,75 Гн под действием внешнего синусоидального напряжения с амплитудой 200 В установился переменный ток, амплитуда которого 20 А. Найти время t, за которое в режиме затухающих колебаний амплитуда колебаний в контуре уменьшается в 2 раза.