Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
(1).
Решив уравнение (1) относительно 
, если это возможно, получим:
(2).
Общим решениемдифференциального уравнения первого порядка называется функция 
, содержащая одну произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям:
1. Функция 
является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированном значении С.
2. Каково бы ни было начальное условие 
, можно найти такое значение постоянной 
, что функция 
удовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретном значении постоянной .
С геометрической точки зрения есть семейство интегральных кривых плоскости Оху; частное решение - одна кривая этого семейства, проходящая через точку 
.
Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.
Справедлива следующая теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (2).
Теорема (Коши). Если в уравнении функция 
и ее частная производная 
непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, содержащей точку 
, то существует единственное решение 
этого уравнения, удовлетворяющее условию .
Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая дифференциального уравнения, проходящая через точку .
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Определение:Уравнение вида 
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Решение: .
Разделив обе части на 
, получим:
.
Проинтегрировав, обе части уравнения, получим:
.
Пример. Найти общий интеграл уравнения: 
.
Решение: ,
,
Разделим обе части уравнения на 
, получим:
,
проинтегрируем обе части
,
Ответ: 
.
Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение: Функция 
называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого аргумента на произвольный множитель 
вся функция умножится на 
, т е.
Например, функция 
есть однородная функция четвертого порядка, поскольку
Определение: Дифференциальное уравнение
называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.
Это уравнение приводится к виду 
, и решается подстановкой 
или 
и 
.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме
,
где 
и 
- однородные функции одинакового порядка.
Пример. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции 
и 
- однородные функции второго порядка.
Положим ,тогда 
. Подставляем в исходное уравнение:
,
,
,
.
Разделим, и левую, и правую стороны на 
, получаем:
,
отсюда, интегрируя, находим
,
,
.
Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения:
,
Ответ: .