D.1. Парная регрессия и корреляция
Пример. По территориям региона приводятся данные за 199X г.
Таблица D.1
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., 
| Среднедневная заработная плата, руб., 
|
Требуется:
1.Построить линейное уравнение парной регрессии от .
2.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3.Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью 
-критерия Фишера и 
-критерия Стьюдента.
4.Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6.На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.
Решение
1.Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу D.2.
Таблица D.2
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| -16 | 12,0 | |||||||
| -4 | 2,7 | |||||||
| -23 | 17,2 | |||||||
| 2,6 | ||||||||
| 1,9 | ||||||||
| 10,8 | ||||||||
| 0,0 | ||||||||
| 0,0 | ||||||||
| 5,3 | ||||||||
| 3,1 | ||||||||
| 7,5 | ||||||||
| -10 | 5,8 | |||||||
| Итого | 68,9 | |||||||
| Среднее значение | 85,6 | 155,8 | 13484,0 | 7492,3 | 24531,4 | – | – | 5,7 |
| 12,84 | 16,05 | – | – | – | – | – | – |
| 164,94 | 257,76 | – | – | – | – | – | – |
;
.
Получено уравнение регрессии: 
.
С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,89 руб.
2.Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
; 
.
Это означает, что 51% вариации заработной платы ( ) объясняется вариацией фактора – среднедушевого прожиточного минимума.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
.
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как 
не превышает 8-10%.
3.Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 
и 
составляет 
. Так как 
, то уравнение регрессии признается статистически значимым.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
Табличное значение -критерия для числа степеней свободы 
и 
составит 
.
Определим случайные ошибки 
, 
, 
:
;
;
.
Тогда
;
;
.
Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:
; 
; 
,
поэтому параметры 
, 
и 
не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
;
.
Доверительные интервалы
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью 
параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.
4.Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: 
руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит: 
руб.
5.Ошибка прогноза составит:
.
Предельная ошибка прогноза, которая в 
случаев не будет превышена, составит:
.
Доверительный интервал прогноза:
руб.;
руб.
Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным ( 
) и находится в пределах от 131,66 руб. до 190,62 руб.
6.В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. D.1):
Рис. D.1.
Варианты индивидуальных заданий
Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (см. таблицу своего варианта).
Требуется:
1.Построить линейное уравнение парной регрессии от .
2.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
3.Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.
4.Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.
5.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.
6.На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.
Вариант 1
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., 
| Среднедневная заработная плата, руб., 
|
Вариант 2
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 3
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 4
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 5
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 6
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 7
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 8
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 9
| Номер региона | Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб.,
| Среднедневная заработная плата, руб.,
|
Вариант 10