Система взаимосвязанных индексов
Рассматривая выше общие индексы, мы в основном говорили о изучении с применением индексного метода динамики сложного явления. Однако роль индексов в статистике гораздо шире. Не менее важной и необходимой в статистическом исследовании является возможность выявления и оценки роли отдельных факторов в динамике сложных явлений.
По существу возможности решения этой задачи заложены в самом построении общих индексов в агрегатной форме.
Например, в п. 10.5 настоящей темы, при изучении динамики сложного явления использовался агрегатный индекс вида 
или индекс переменного состава. Дальнейшие рассуждения позволили оценить с использованием взаимосвязанных индексов постоянного (фиксированного) состава и структурных сдвигов влияние двух факторов - изменения структуры признака и весов – соизмерителей на динамику явления.
Исходя из этого можно заметить, что изучаемые в статистике показатели (признаки) находятся в определенной связи между собой. Эта взаимосвязь носит мультипликативный характер, т.е. проявляется в том, что один показатель представляет собой произведение ряда других. Например, объем произведенной продукции можно представить как произведение численности работающих на их производительность труда ( 
), динамика товарооборота в фактических ценах обусловлена совместным изменением количеств проданных товаров и цен на них ( 
), валовой сбор той или иной культуры как произведение урожайности на площадь ( 
) и т.д.
Все показатели – сомножители в указанных произведениях – могут рассматриваться как факторы, определяющие величину сложного (результативного) показателя. Следовательно, когда речь идет о динамике сложного явления, то, само собой разумеется, что изменение такого результативного показателя может происходить за счет изменения (влияния) всех факторов, определяющих его развитие. Поэтому при анализе изменения таких сложных показателей важно определить роль отдельных факторов в этом изменении. А для этого они должны быть связаны в единую индексную систему так, чтобы произведение этих индексов давало показатель динамики изучаемого сложного явления.
Итак, чтобы выявить влияние отдельного фактора, необходимо в динамике результативного показателя исследуемый фактор рассматривать как переменный, а остальные считать постоянными. Так, если 
, то отношение 
покажет изменение результативного показателя за счёт обоих факторов (a , b), а отношение 
должно показывать изменение результативного показателя за счет фактора а, отношение 
- изменение признака за счет фактора в.
Однако оценка роли отдельного фактора и абстрагирование от влияния прочих факторов может быть решена и с другим подходом. Теоретически здесь возможно несколько решений.
1 вариант: независимо от последовательности изучения влияния индексируемых факторов постоянные факторы рассматриваются на уровне базисного периода (как показано выше).
2 вариант: постоянные факторы рассматриваются на уровне отчетного периода, т.е. 
влияние фактора а, 
– влияние фактора в.
3 вариант: каждый из уже исследованных факторов при определении влияния других факторов (последующих) рассматривается на уровне отчетного периода с учетом действия уже рассмотренных факторов, т.е. 
- влияние фактора а, 
– влияние фактора в.
Для двух факторов составили три варианта. Очевидно, что число возможных вариантов подобного рода отношений увеличивается по мере увеличения числа факторов – сомножителей в результативном показателе. Исходя из этого, прежде чем рассматривать обособленное влияние каждого из факторов, необходимо обосновать констатацию (фиксацию) «прочих» факторов на том или ином уровне.
Описанный прием отражения изменения сложного показателя за счет отдельных факторов является характерным для индексного метода.
В нашей статистике установилась следующая практика построения факторных индексов. Если результативный показатель можно представить как произведение объемного и качественного показателей – факторов, то сначала определяется влияние объемного показателя на результативный, фиксируя качественный показатель на уровне базисного периода. При определении влияния качественного показателя объемный (рассматриваемый как постоянный) фиксируется на уровне отчетного периода.
Отсюда взаимосвязь между индексами физического объема продукции, численности работников и производительности труда можно записать в виде следующего равенства:
.
Индекс численности 
, отражающий изменение объема производства продукции за счет изменения численности работников (объемного показателя) построен по производительности труда, зафиксированной на уровне базисного периода. Индекс производительности труда 
, отражающий изменения объема продукции за счет изменения производительности труда (качественного показателя) построен по численности работников, зафиксированный на уровне отчетного периода.
Таким образом, в одном из двух факторных индексов веса фиксируются на уровне отчетного периода, а в другом – на уровне базисного периода. Только при этом условии они в произведении дадут индекс результативного показателя.
Для рассмотренного примера имеет:
Итак, при изучении различных сторон динамики сложного явления (сложного показателя) используется целый ряд индексов различных по построению и содержанию, но вместе с тем связанных между собой и дополняющих друг друга. Поэтому принято говорить о системе взаимосвязанных индексов, используемых в анализе динамики сложных показателей (явлений).
В статистике можно изучать ряд результативных признаков – показателей, зависящих от трех и более факторов. Например, величина материальных затрат при производстве продукции зависит от количества выпущенной продукции, удельного расхода того или иного материала и цен на эти материалы.
Факторные индексы, при этом должны быть построены как взаимосвязанные, составляющие систему в рассмотренном выше смысле. Эта взаимосвязь будет иметь место при построения факторных индексов:
.
При такой системе индексов, взаимосвязанных между собой, в первом факторном индексе фиксированные показатели, принятые на базисном уровне, во втором факторном индексе влияние первого фактора указано уже на отчетном уровне, а другие фиксированные показатели приняты на базисном уровне, в третьем факторном индексе влияние двух первых (предыдущих) факторов фиксируется на отчетном уровне, а другие (если более трех факторов), фиксированные показатели принимаются на уровне базисного периода и т.д. Для последнего факторного индекса все предыдущие факторы фиксируются на уровне отчетного периода.
Чем больше взаимосвязанных факторов определяют результативный показатель, тем более сложным является процесс разложения по факторам и тем большего обоснования требует построение каждого из факторных индексов. Как показывают многочисленные статистические исследования, на оценку роли отдельных факторов влияет порядок подстановки их в систему взаимосвязанных факторных индексов.
Пример. Пусть 
=1, 1 и 
=1,1. В этом случае 
и индексным методом получим, что за счет изменения численности прирост объема продукции обеспечен на 47,6% и за счет производительности труда на 52,4% (100-47,6%). Допустим в течение 5 лет темпы роста численности работников и производительности труда были одинаковы, на одном уровне роста на 10% за год.. Тогда за 5 лет 
и соответственно 
. Тогда за 5 лет доля прироста продукции за счет увеличения численности составит 38,3% и, следовательно, за счет роста ПТ=61,7%. Этот результат сильно разнится от результата за год.
Вывод формулы разложения общего прироста объема продукции за счет факторов: роста численности работников и роста производительности труда.
Вспомним, что во всех факторных отношениях разность между числителем и знаменателем характеризует изменение результативного признака за рассматриваемый период времени или за счет влияния того или иного фактора.
Итак, в данном случае ( 
) характеризует общий прирост продукции за рассматриваемый период, ( 
) – прирост продукции за счет увеличения численности работников, ( 
) – прирост продукции за счет повышения производительности труда.
Отсюда доля прироста продукции за счет увеличения численности работников и роста ПТ (в %%) будет определяться по формуле
где 
и 
– как коэффициенты, а 
– тоже коэффициенты или в процентах (чтобы не иметь дело с малыми числами).
Контрольные вопросы по теме 10
1. Какова роль индексного метода анализа в экономико-статистических исследованиях?
2. Какие основные признаки используются для классификации индексов?
3.Как исчисляются индивидуальные индексы важнейших экономических показателей производства, и какие правила следует соблюдать при этом?
4. На каких принципах базируется расчет агрегаточных индексов объемных и качественных признаков?
5. Какие виды средних индексов используются в статистической практике и для решения каких проблем?
6. Как объяснить различия в величине индекса цен переменного и фиксированного состава?
7. Что характеризует индекс влияния структурных сдвигов? Напишите формулу для его расчета?
8. Какая связь существует между индексами переменного состава, фиксированного (постоянного) состава и структурных сдвигов? Как используется на практике?
9. Что характеризует разность числителя и знаменателя агрегатных индексов физического объема продукции и цен?
10. Как строятся ряды ценных и базисных индексов?
11. Какая взаимосвязь существует между ценными и базисными индексами?
12. Почему не существует связь между ценными и базисными общими индексами качественных показателей? Докажите этим путем построения в общем виде рядов ценных и базисных общих индексов цен.
13. Какие формы индексов используются при территориальных сопоставлениях? Какие правила следует соблюдать при этом?
14. Какое значение имеет построение факторных индексных моделей?
15. Как определить долю влияния различных факторов на изменение результативного показателя?
16. Сформулируйте основные принципы оценки абсолютного и относительного размера влияния факторов на изменение результативного показателя с использованием многофакторных индексных моделей.
17. Какие допущения (правила) лежат в основе использования индексов в экономическом анализе?