Проверка гипотезы о независимости
В общем случае для проверки гипотезы о независимости случайных величин 
и 
можно воспользоваться критерием независимости 
проверки гипотезы 
, заключающейся в том, что функция распределения случайного вектора 
,
где 
и 
- одномерные функции распределения координат вектора.
Статистика критерия независимости 
имеет вид (см. [3, разд. 3.5]):
,
где 
и 
– число интервалов группировки выборочных значений случайных величин и соответственно; 
и 
- частоты интервалов группировки выборочных значений случайных величин и соответственно; 
- частота прямоугольника, сторонами которого являются 
-й интервал группировки выборочных значений случайной величины и 
-й интервал группировки выборочных значений случайной величины .
Гипотезу отвергают тогда, когда вычисленное по заданной выборке 
значение статистики 
удовлетворяет неравенству 
, где 
является 
-квантилью распределения 
с 
степенями свободы. В противном случае гипотезу принимают.
В случае нормального распределения случайного вектора равенство коэффициента корреляции нулю означает одновременно и независимость координат вектора. Поэтому гипотеза о независимости случайных величин и в этом случае может быть сформулирована как гипотеза 
.
Статистикой критерия для проверки данной гипотезы является величина: 
, где 
- выборочный коэффициент корреляции.
В случае справедливости значение величины 
не должно существенно отличаться по модулю от нуля. Поэтому критическая область критерия для проверки является двусторонней (в отличие от критерия ) и задается в виде 
, где 
- значение величины , полученное для заданной выборки, а порог 
определяется по заданному уровню значимости 
так, чтобы 
.
Поскольку (см. [3, разд. 3.5] и [4, разд. 4.8.1]) при больших 
(практически при 
) в случае справедливости гипотезы случайная величина имеет распределение Стьюдента 
с 
степенями свободы, то для заданного уровня значимости можно положить 
, где 
является 1— /2 - квантилью распределения .
Таким образом, критерий для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции состоит в следующем:
1. По заданному уровню значимости находится по табл. П3 порог
.
2. По заданной выборке вычисляется значение статистики 
.
3. Если 
, то гипотезу отвергают и делают вывод о том, что случайные величины и являются зависимыми.
4. Если 
, то гипотезу принимают и считают, что случайные величины и являются независимыми.
Замечание. В общем случае (отличном от нормального) гипотеза является гипотезой о некоррелированности случайных величин и и известна также как гипотеза о значимости коэффициента корреляции.