Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества
С каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики — энергия Е и импульс p, а с другой — волновые характеристики — частота n и длина волны l. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов 
Смелость гипотезы де Бройля заключалась именно в том, что соотношение постулировалось не только для фотонов, но и для других микрочастиц, в частности для таких, которые обладают массой покоя. Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемойпо формуле де Бройля: 
Это соотношение справедливо для любой частицы с импульсом р.
Представление о двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества углубляется еще тем, что на частицы вещества переносится связь между полной энергией частицы e и частотой n волн де Бройля: 
Это свидетельствует о том, что соотношение между энергией и частотой в формуле имеет характер универсального соотношения, справедливогокак для фотонов, так и для любых других микрочастиц.
Всем микрообъектам присущи и корпускулярные, и волновые свойства; в то же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании.
Волновая функция и ее статистический смысл. Физические величины в квантовой механике.
Волнова́я фу́нкция, или пси-функция 
— комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описаниячистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):
где 
— координатный базисный вектор, а 
— волновая функция в координатном представлении.
Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.
Общее уравнение Шредигера.
Общий случай
В квантовой физике вводится комплекснозначная функция 
, описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.
Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.
Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами 
, в определенный момент времени t она будет иметь вид 
. В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:
где 
, 
— постоянная Планка; 
— масса частицы, 
— внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке , 
— оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:
Стационарное уравнение Шрёдингера
Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда 
не является функцией времени, можно записать в виде:
где функция 
должна удовлетворять уравнению:
которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).
Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции 
от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3)при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение(3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .
Важное значение имеет интерпретация величины 
в уравнении (2). Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции в уравнении (2)имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при 
в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель . В левой же части уравнения (3) функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .
Туннельный эффект
Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовойприроды, невозможное и даже полностью противоречащее классической механике. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптикеможет служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение.
Упрощённое объяснение
Туннельный эффект можно объяснить соотношением неопределённостей.[1] Записанное в виде:
,
оно показывает, что при ограничении квантовой частицы по координате, то есть увеличении её определённости по x, её импульс p становится менее определённым. Случайным образом неопределённость импульса 
может добавить частице энергии для преодоления барьера. Таким образом, с некоторой вероятностью квантовая частица может проникнуть через барьер, а средняя энергия частицы останется неизменной.
22. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»
Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». 
где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде 
По условию задачи, частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х=0 и х=1) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид 
В пределах «ямы» (0 £ х £ l) уравнение Шредингера сведется к уравнению 
или 
где 
Общее решение дифференциального уравнения: 
Тогда 
Условие y(l)=A sin kl = 0 выполняется только при kl = np, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы 
Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что 
т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа п. Следовательно, энергия Еn частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения,т.е.квантуется. Квантованные значения энергии Еn называютсяуровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни частицы, называетсяглавным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Еn, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.
Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде 
В результате интегрирования получим А = 
, а собственные функции будут иметь вид 
Из выражения вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен 
Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.
Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная 
. Неопределенность импульса Dp»h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin»(Dp)2/(2m) = h2/(2ml2).