Математика в школе
Нет вернее СЃРїРѕСЃРѕР±Р° убить энтузиазм детей Рё РёС… интерес Рє предмету, чем включив его РІ обязательную часть школьной программы[10]. Включите его РІ ЕГР, Рё РІС‹ наверняка увидите, как образовательная бюрократия высосет РІСЃРµ его жизненные СЃРѕРєРё. Р’ отделах образования не понимают, что такое математика — как РЅРµ понимают этого РЅРё директора школ, РЅРё авторы учебников, РЅРё РёС… издатели, РЅРё — печальнее всего — учителя. Проблема столь велика, что СЏ едва понимаю, СЃ какого конца начать ее излагать.
Начнем СЃ поражения множества реформ математического образования. Уже долгие РіРѕРґС‹ РІСЃРµ большее внимание уделяется разладу РІ системе математического образования. Оплачиваются исследования, собираются конференции, формируются бессчетные комитеты учителей, авторов Рё издателей учебников, чтобы «исправить ситуацию». ВРќРµ упустив РЅРё капли собственной издательской выгоды (РЅР° любые флуктуации политики обучения РѕРЅРё отвечают предложением новых редакций СЃРІРѕРёС… нечитабельных СѓСЂРѕРґРёС‰), РІСЃРµ эти реформаторы упустили главное: математическая программа должна быть РЅРµ исправлена — РѕРЅР° должна быть выброшена РІРѕРЅ.
Вся эта болтовня и показуха касательно того, какие «пункты программы» и в каком порядке следует учить, использовать эту систему записи вместо той, какой модели калькулятор, Господи прости, нужен школьнику, — все это напоминает перестановку стульев на палубе тонущего «Титаника». Математика есть музыка разума. Заниматься математикой — значит совершать открытия и строить предположения; жить вдохновением и интуицией; значит оказываться в отчаянии — не потому, что предмет не имеет смысла, а потому, что вы придали ему смысл и все еще не понимаете, как ведет себя ваше создание; значит испытать и прорыв фонтана идей, и поражение художника; и в ужасе неметь от почти что физически невыносимого, переполняющего вас чувства прекрасного; да значит быть живым, черт побери! Уберите это из математики, и можете собирать сколько угодно умных конференций, и это ничего не изменит. Оперируйте, сколько хотите, дорогие доктора: пациент уже мертв.
Наипечальнейшая часть этих реформ — попытки «сделать математику интересной» и «важной в жизни детей». Вам не надо делать математику интересной — она уже более интересна, чем вы сможете вынести! Рторжество ее в неважности для жизни — вот почему она так занимательна.
ВПопытки изобразить математику полезной Рё нужной для ежедневных дел всегда натужны Рё СѓР±РѕРіРё: «Видите, дети, как просто, РєРѕРіРґР° знаешь алгебру, высчитать, сколько Марии лет, если ей РЅР° РґРІР° РіРѕРґР° больше, чем дважды ее возраст семь лет назад!В» — как будто кто-то РІ жизни получит эту безумную информацию вместо настоящего возраста. Алгебра — РЅРµ инструмент для жизни, это искусство симметрии Рё чисел, Рё потому достойно постижения само РїРѕ себе.
Даны сумма и разность двух чисел. Каковы сами числа?
Вот простой, элегантный вопрос, и не надо лезть из кожи вон, чтобы придать ему привлекательности. Древние вавилоняне любили решать такие задачи, и наши ученики их тоже любят. (Да и вам, надеюсь, понравится!) Нам не надо заворачиваться в тройные узлы, чтобы придать математике важность для ежедневных дел. Ее важность, как и важность искусства вообще — в осмыслении человеческого опыта.
Рли, может быть, РІС‹ думаете, что дети хотят чего-то, относящегося Рє РёС… ежедневным делам? Может быть, РёС… восхищает что-то практическое, например, сложный процент РїРѕ кредиту? Людей восхищает фантазия,В Рё это именно то, что математика может дать — убежище РѕС‚ ежедневного, волшебный бальзам РѕС‚ практических забот.
Другая проблема — РєРѕРіРґР° авторы учебников начинают «сюсюкать», чтобы сделать математику «дружественной» Рё победить «страх перед математикой» (РѕРґРЅР° РёР· множества болезней, РЅР° самом деле вызываемых школой). Чтобы ученики могли запомнить формулы, РІС‹ можете придумать целую историю Рѕ том, как Рван Демьянович едет РЅР° машине РІРѕРєСЂСѓРі Елизаветы Макаровны Рё РіРѕРІРѕСЂРёС‚ ей, как хороши были ее РґРІР° РїРёСЂРѕРіР° (L=2ПЂR), или что ее РїРёСЂРѕРіРё квадратные (S=ПЂRВІ), или еще какую-РЅРёР±СѓРґСЊ глупость. Рђ как же настоящий рассказ Рѕ проблеме измерения кривых, Рѕ Евдоксе[11] Рё Архимеде Рё методе неделимых, Рѕ трансцендентности числа ПЂ? Что интереснее — измерять приблизительный размер кружка РїРѕ клеточкам, Р° потом вычислять длину окружности РїРѕ формуле, которую вам дали без объяснения, или услышать историю РѕРґРЅРѕР№ РёР· самых прекрасных, захватывающих задач, и самых СЏСЂРєРёС… Рё сильных идей всей человеческой истории? РњС‹ убиваем РІ детях интерес Рє кругам, РІ конце концов!
Почему мы не даем ученикам услышать об этом, не то чтобы дать им возможность самим позаниматься математикой, прийти к собственным идеям и мнениям? Какой еще предмет изучают, даже не упоминая о том, каковы его история, философия, основоположения, эстетические критерии и текущее положение вещей? Какой еще предмет отбрасывает первоисточники — чудесных произведений искусства, выполненных самыми творческими умами истории — в пользу убогих третьесортных учебников?
Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдается за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как ее решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1—15». Что за тоскливый способ изучать математику: стать дрессированным шимпанзе.
РќРѕ задача — настоящий, честный РґРѕ РјРѕР·РіР° костей естественный человеческий РІРѕРїСЂРѕСЃ — это нечто РґСЂСѓРіРѕРµ. Какова длина диагонали РєСѓР±Р°? Закончатся ли простые числа? Бесконечность — число или нет? Сколькими способами можно симметрично покрыть поверхность плитками? Рстория математики — это история решения этих РІРѕРїСЂРѕСЃРѕРІ, РЅРµ бессмысленного пережевывания формул Рё алгоритмов, вместе СЃ натянутыми упражнениями, чтобы РёС… применять.
Хорошая задача — такая, решения которой вы не знаете. Вот где загадка, вот что дает настоящие возможности! Хорошая задача не стоит в отдельности, но служит стартовой площадкой для других интересных задач. Треугольник занимает половину описанного прямоугольника. А как насчет пирамиды в кубе? Можно ли эту задачу решить тем же способом?
Я принимаю идею обучения школьников технике решения, и я сам это делаю. Но это не цель. Техника в математике, как и в любом искусстве, должна изучаться в контексте. Великие задачи, их история, творческий процесс — вот этот контекст. Дайте ученикам хорошую задачу, пусть они поломают головы, пусть у них не получится ее решить. Посмотрите, что у них выйдет. Дождитесь до того момента, когда они страстно захотят свежую идею. Тогда научите их какой-то технике, только немного.
Отложите в сторону планы уроков и диапроекторы, мерзкие красочные учебники, компакт-диски и весь остальной парад уродов бродячего цирка, и займитесь с учениками математикой! Учителя живописи не тратят время на чтение учебников и зазубривание техники — они просто дают детям рисовать. Они ходят от мольберта к мольберту и подсказывают, направляют:
— Я думала о задаче с треугольником, и кое-что заметила. Смотрите, если треугольник наклонный, то он не занимает половины прямоугольника!
— Превосходное наблюдение! Наше рассуждение с рассечением треугольника предполагало, что вершина находится над основанием. Теперь нам нужна новая идея.
— Попытаться рассечь его иначе?
— Конечно. РџРѕРїСЂРѕР±СѓР№ всевозможные идеи. Расскажи потом, что Сѓ тебя выйдет!
Как же нам учить детей математике? Выбирая занимательные Рё естественные задачи, РІ соответствии СЃ РёС… вкусами, интересами Рё опытом. Давая РёРј время делать открытия Рё строить гипотезы. Помогая РёРј выстраивать доказательства Рё создавая атмосферу Р·РґРѕСЂРѕРІРѕРіРѕ Рё живого математического критицизма. Улавливая, РєСѓРґР° меняется РёС… интерес. Р’ общем, выстраивая честные Рё открытые интеллектуальные отношения СЃ учениками. Рто требует слишком большой ответственности Рё слишком большой открытости — короче, это слишком РјРЅРѕРіРѕ работы!
Гораздо проще быть пассивным передатчиком готовых школьных «материалов» Рё следовать инструкции, как РЅР° бутылке шампуня — «лекция, экзамен, повторить» — чем глубоко мыслить Рѕ собственном предмете Рё передавать этот смысл честно Рё наилучшим образом СЃРІРѕРёРј ученикам. Нас просто уговаривают забросить сложную задачу принятия решений СЃРІРѕРёРј СѓРјРѕРј Рё совестью, Рё вместо этого «проходить программу». Рто попросту путь наименьшего сопротивления:
Выберите правильный ответ:
Авторы учебников относятся к учителям так же, как:
а) фармацевтические компании к докторам;
б) компании звукозаписи к диск-жокеям;
в) корпорации к депутатам
г) все вышеперечисленное.
РўСЂСѓРґ математики, как Рё живописи Рё РїРѕСЌР·РёРё, состоит РІ тяжелой творческой работе. Поэтому математику очень сложно преподавать. Математика — медленный созерцательный процесс. Рзготовить произведение искусства занимает время, Р°, чтобы распознать его, нужен искусный учитель. Разумеется, легче вывесить СЃРїРёСЃРѕРє правил, чем вести Р·Р° СЃРѕР±РѕР№ будущих художников, как легче написать инструкцию Рє телевизору, чем РєРЅРёРіСѓ СЃРѕ своей точкой зрения.
Математика — искусство, Р° искусство должно преподаваться действующими мастерами, или СѓР¶, РїРѕ крайней мере, педагогами, любящими искусство Рё способными его распознать. РќРµ обязательно учиться музыке Сѓ профессионального композитора, РЅРѕ отдадите ли РІС‹ ребенка РІ обучение РєРѕРјСѓ-то, кто РЅРµ умеет играть сам Рё РЅРµ слышал РЅРё РѕРґРЅРѕРіРѕ музыкального произведения Р·Р° РІСЃСЋ жизнь? Возьмете ли РІС‹ учителем рисования того, кто РЅРµ держал РІ СЂСѓРєРµ карандаша Рё РЅРёРєРѕРіРґР° РЅРµ был РІ музее? Как же тогда РјС‹ допускаем РІ учителя математики того, кто РЅРµ создал РЅРё РѕРґРЅРѕРіРѕ математического произведения, РЅРµ знает РЅРё истории, РЅРё философии предмета, РЅРё последних достижений математики, Рё ничего, РІ конце концов, РёР· того, что РѕРЅ должен преподавать СЃРІРѕРёРј несчастным студентам? Что же это Р·Р° учитель? Как РѕРЅРё РјРѕРіСѓС‚ учить тому, чего сами РЅРµ знают? РЇ РЅРµ умею танцевать, РЅРѕ РјРЅРµ Рё РІ голову РЅРµ придет, будто СЏ РјРѕРіСѓ вести танцевальный класс (хоть СЏ РјРѕРі Р±С‹ Рё попробовать, РЅРѕ это выглядело Р±С‹ ужасно). Разница РІ том, что СЏ знаю, что СЏ РЅРµ умею танцевать. РњРЅРµ никто РЅРµ скажет, что СЏ хорошо танцую, даже если СЏ знаю кучу танцевальных терминов.
Я не пытаюсь даже сказать, что учителя математики должны быть профессиональными математиками — нет, я и не подхожу к этому. Но не должны ли они хотя бы понимать, что такое математика, знать ее, и любить?
Если учеба превращается в простую передачу информации, если в ней нет делимого с учеником восхищения и чуда, если учителя суть пассивные получатели информации, а не творцы новых идей, есть ли тогда надежда у наших школьников? Если сложение дробей для учителя является случайным набором правил, а не результатом творчества или результатом эстетически обоснованного выбора, тогда несомненно надежды у бедных учеников и быть не может.
Преподавание это не передача информации. Преподавание — это честные интеллектуальные отношения с учениками. Для этого не нужны ни методы, ни пособия , ни специальная подготовка. Для этого нужно только быть самим собой. Если вы сами не можете быть собой, то у вас нет никакого права причинять себя ни в чем неповинным детям.
В частности, вы не можете учить учить. Педагогические курсы — полная лажа. Да, вы можете пройти курсы по раннему детскому развитию и еще чему-нибудь, обучиться «использовать доску эффективно», готовить организованный «план урока» (что, кстати, обеспечивает вашему уроку плановость, следовательно, лживость), но вы никогда не станете учителем, если не будете настоящим человеком. Преподавание — это открытость и честность, желание делиться радостью знания, любовь к учению. Без этого все педагогические дипломы мира не помогут вам, и совершенно бесполезны.
Рто так просто. Ученики РЅРµ пришельцы СЃ Альфы Центавра. РћРЅРё понимают прекрасное, РѕРЅРё РІРёРґСЏС‚ СѓР·РѕСЂ, РѕРЅРё РѕС‚ РїСЂРёСЂРѕРґС‹ любопытны, как Рё РІСЃРµ РјС‹. Просто расскажите РёРј! Р— еще важнее — слушайте РёС…!
Симплицио. Ну ладно, мне ясно, что в математике есть элемент искусства и что мы могли бы лучше это объяснять. Но ведь это, наверное, слишком заумная штука, чтобы ожидать ее от школы? Мы же не философов там учим, нам же надо, чтобы они арифметику знали до той степени, чтобы нормально вписаться в общество.
Сальвиати. Рто РЅРµ так! Школьная математика занимается множеством вещей, РЅРµ связанных СЃ возможностью вписаться РІ общество — например, алгеброй Рё тригонометрией. Рти дисциплины совершенно бесполезны для ежедневных дел. РЇ просто предлагаю РІРѕС‚ что: раз РјС‹ включаем эти вещи РІ план среднего образования, так СѓР¶ делать это органично Рё естественно. Рљ тому же, как СЏ уже РіРѕРІРѕСЂРёР», то, что РёР· предмета можно получить практическую пользу, еще РЅРµ РіРѕРІРѕСЂРёС‚ Рѕ том, чтобы РЅР° этой пользе обучение фокусировать. Конечно, следует научиться читать, чтобы заполнить бланк РЅР° почте, РЅРѕ ведь РјС‹ РЅРµ для этого детей учим чтению. РњС‹ учим РёС… чтению для высшей цели — дать РёРј доступ Рє прекрасным Рё значительным идеям. РќРµ только было Р±С‹ бесполезно учить третьеклассников писать, давая РёРј заполнять бланки налоговых деклараций — это Р±С‹ Рё РЅРµ работало! РњС‹ учимся, потому что нам интересно то, чему РјС‹ учимся, здесь Рё сейчас, РЅРµ потому, что это будет полезно РІ дальнейшем. Рђ ведь СЃ математикой РјС‹ именно так Рё поступаем.
Симплицио. Но разве третьеклассники не должны знать арифметики?
Сальвиати. Зачем? РўС‹ хочешь научить РёС… складывать 427 Рё 389? Рто РЅРµ РёР· тех РІРѕРїСЂРѕСЃРѕРІ, что спрашивают восьмилетки. Да РЅРµ РІСЃРµ взрослые полностью понимают десятичную позиционную арифметику, Р° ты хочешь, чтобы Сѓ третьеклассников была полная ясность? Рли тебе РІСЃРµ равно, РїРѕР№РјСѓС‚ РѕРЅРё это или нет? Слишком рано это для такого механического обучения. Конечно, РёС… можно научить, РЅРѕ, думаю, РѕС‚ этого вреда выйдет больше, чем пользы. Лучше дождаться, РїРѕРєР° Сѓ РЅРёС… РЅРµ появится естественный интерес Рє числам.
Симплицио. Так чем же дети должны заниматься на уроках математики?
Сальвиати. Рграть! Научите РёС… играть РІ шахматы Рё РіРѕ, гекс Рё нарды, «ростки» Рё РЅРёРј[12], РґР° чему СѓРіРѕРґРЅРѕ — выдумайте РёРіСЂСѓ! Отгадывайте загадки. Создавайте для РЅРёС… ситуации, РіРґРµ необходимо дедуктивное мышление. РќРµ думайте Рѕ формальностях записи Рё технике, Р° помогайте РёС… активному Рё творческому математическому мышлению.
Симплицио. Похоже, мы возьмем этим на себя слишком большой риск. Что же, нам не учить школьников арифметике — ведь они не будут уметь складывать и вычитать!
Сальвиати. Полагаю, что мы куда больше рискуем создать школу, лишенную творческого выражения, где функции ученика будут запоминать даты, формулы и списки слов, а затем выплевывать их на стандартных экзаменах, готовясь стать «строителем светлого будущего».
Симплицио. Но послушай, ведь должен быть какой-то минимум математических фактов, которые должен знать любой образованный человек!
Сальвиати. Да, Рё самый главный РёР· этих фактов — то, что математикой люди занимаются для собственного удовольствия! Согласен, неплохо знать некоторые основные факты Рѕ числах Рё геометрических фигурах. РќРѕ это РЅРµ придет РѕС‚ зубрежки, повторений, лекций Рё упражнений. РўС‹ можешь конечно, заучить РёС…. РњС‹ РІРёРґРёРј миллионы взрослых людей, повторяющих «минус b плюс-РјРёРЅСѓСЃ корень РёР· b РІ квадрате РјРёРЅСѓСЃ 4ac, деленное РЅР° 2aВ», Рё РІСЃРµ это без малейшего понятия, что это значит. Рђ причина РІ том, что РёРј так Рё РЅРµ дали возможности открыть или изобрести что-то самим. РћРЅРё РЅРёРєРѕРіРґР° РЅРµ решали увлекательной задачи, РЅРµ бились над ней, РЅРµ искали СЃРїРѕСЃРѕР± решения. РРј никто РЅРµ рассказал РѕР± истории отношений человека Рё чисел — РЅРё Рѕ вавилонских табличках СЃ задачами, РЅРё Рѕ папирусе Ахмеса, РЅРё Рѕ Liber abaci, РЅРё РѕР± Ars magna[13]. Р— самое главное — Сѓ РЅРёС… РЅРµ было возможности задаться РІРѕРїСЂРѕСЃРѕРј, РёР±Рѕ РЅР° РІСЃРµ РёС… РІРѕРїСЂРѕСЃС‹ были даны ответы еще РґРѕ того, как РѕРЅРё РёС… могли задать.
Симплицио. Но у нас нет столько времени, чтобы каждый ученик изобрел себе математику! У человечества ушли века на теорему Пифагора — как же ты хочешь, чтобы обычный школьник ее сам открыл?
Сальвиати. Я этого не хочу. Позволь мне ясно сказать: я сожалею о полном отсутствии в математической программе искусства и открытия, истории и философии, контекста и перспективы. Я не хочу сказать, что нотация, техника и накопление знаний не нужны. Нужны, конечно. У нас должно быть и то, и это. Если я возражаю против того, что маятник слишком далеко отклонился в одну сторону, это не значит, что я за то, чтобы он отклонился до конца в другую. Люди на самом деле лучше учатся, когда результат получается из процесса. Настоящая любовь к стихам приходит не от запоминания сотен поэм, а от написания собственных стихов.
Симплицио. Да, но прежде, чем писать стихи, ты должен выучить алфавит! Должно же все с чего-то начинаться. Сначала учатся ходить, потом — бегать.
Сальвиати. Да нет же, сначала тебе нужно знать, РєСѓРґР° бежать. Дети учатся писать стихи Рё рассказы Рё одновременно РїРёСЃСЊРјСѓ Рё чтению. Рассказ шестилетнего — это чудесно, Рё орфографические Рё стилистические ошибки нисколько РЅРµ умаляют этого чуда. Даже самые маленькие дети сочиняют песенки, хотя Рё РЅРµ знают, РІ каком РѕРЅРё размере Рё РІ какой тональности.
Симплицио. РќРѕ разве математика РЅРµ отличается РѕС‚ музыки? Разве математика — РЅРµ система символов, язык сам РїРѕ себе, который надо выучить прежде, чем говорить РЅР° нем?
Сальвиати. Нет, это совершенно РЅРµ так. Математика — РЅРµ язык, Р° приключение. Разве музыканты «говорят РЅР° РґСЂСѓРіРѕРј языке», сокращая СЃРІРѕРё идеи РґРѕ маленьких черных РЅРѕС‚? Если Р±С‹ Рё так — это РІСЃРµ равно РЅРµ мешает карапузу Рё его песенке. Да, определенная система математической записи образовалась Р·Р° века, РЅРѕ РѕРЅР° РЅРµ является самоважной. Математика частенько делается СЃ РґСЂСѓР·СЊСЏРјРё Р·Р° чашкой кофе РЅР° салфетках. Математика — это идеи, Р° идеи превосходят символы, которыми РѕРЅРё записываются. Гаусс однажды заметил: «Нам нужны идеи, Р° РЅРµ РёРґРёРѕРјС‹!В»
Симплицио. РќРѕ разве РЅРµ верно сказать, что РѕРґРЅР° РёР· целей математического образования научить школьников думать логически точно, выработать «навыки математического мышления», как пишут РІ программе? Разве формулы Рё правила РЅРµ оттачивают СѓРјР° учеников?
Сальвиати. Нет, не «оттачивают». Если хочешь, система дает прямо противоположный эффект: она отупляет. Острота ума причиняется решением задач, а не заучиванием того, как это следует делать.
Симплицио. Ладно, согласен. Рђ как быть СЃ учениками, что РёРґСѓС‚ РІ науку Рё РІ инженеры? Разве РёРј РЅРµ нужно обучение РїРѕ стандартной программе? РќРµ для того ли РјС‹ преподаем математику РІ школе?
Сальвиати. Много ли учеников станут писателями после уроков литературы? Мы учим литературе не для этого. Мы учим, чтобы просвещать, а не давать профтехобразование! Ведь самое важное умение и ученого, и инженера — умение мыслить творчески и независимо. А кому нужна эта дрессировка?!
Математическая программа
Состояние преподавания математике в школе так печально не только и не столько тем, что важное отсутствует — что на уроках математики не происходит математики, — но тем, что там присутствует: мешанина деструктивной дезинформации, называемая «программой». Давайте посмотрим, что противостоит нашим ученикам во имя математики, и какой это им наносит ущерб.
Самое удивительное РІ этой программе — это ее негибкость. Рто особенно заметно РїРѕ программе старших классов. РћС‚ школы Рє школе, РѕС‚ РіРѕСЂРѕРґР° Рє РіРѕСЂРѕРґСѓ, РѕС‚ штата Рє штату повторяются РѕРґРЅРё Рё те же темы, Рѕ РЅРёС… рассказывается одинаково Рё РІ РѕРґРЅРѕРј Рё том же РїРѕСЂСЏРґРєРµ. Вместо того, чтобы возмутиться этим Оруэлловским положением вещей, большинство людей просто принимают эту «стандартную программу» Р·Р° самое математику.
Рто тесно связано СЃ тем, что СЏ называю «мифом Рѕ лестнице» — идеей Рѕ том, что математику можно выстроить РІ последовательность «предметов», каждый РёР· которых более «высокий», поднимающуюся РґРѕ «высшей математики». Рта идея порождает РіРѕРЅРєСѓ: некоторые студенты впереди, чьи-то родители переживают, что РёС… ребенок «отстающий». Р РіРґРµ финишная черта этой РіРѕРЅРєРё, что ждет РЅР° ней? Печально, РЅРѕ РіРѕРЅРєР° эта РІ РЅРёРєСѓРґР°. Р’ конце — вас обманут на ровно РѕРґРЅРѕ математическое образование, РґР° еще так, что РІС‹ этого РЅРµ заметите.
Настоящая математика РЅРµ выпускается РІ консервах — РІ математике нет такой идеи, как алгебра Р·Р° 9-Р№ класс. Задачи ведут вас, РєСѓРґР° ведут. Рскусство — РЅРµ РіРѕРЅРєР°. РњРёС„ Рѕ лестнице это искаженный образ предмета математики, Р° учитель, следующий стандартной программе, лишь закрепляет этот РјРёС„, вместо того, чтобы показывать математику как нечто цельное. Рђ РІ результате Сѓ нас получается математическая программа без исторической перспективы Рё тематической цельности, фрагментарный набор разнообразных тем Рё приемов, выстроенных РІ РїРѕСЂСЏРґРєРµ легкости, СЃ которой РёС… можно свести Рє пошаговым инструкциям.
Вместо открытия и исследования у нас получаются правила и инструкции. Мы никогда не слышим, чтобы ученик говорил: «Мне захотелось узнать, есть ли смысл в возведении числа в отрицательную степень, и я обнаружил, что получится вполне осмысленно, если представить ее в виде обратного числа». Вместо того, учитель и учебники дают «правило отрицательной степени» как fait d’accompli без упоминания эстетики этого выбора или хотя бы того, что выбор был.
Вместо осмысленных задач, какие могли бы привести через неисследованную территорию обсуждения и спора к синтезу разнообразных идей, к чувству тематического единства и гармонии в математике, мы имеем столь безрадостные повторяющиеся упражнения на определенную технику, разъединенные друг с другом и отсоединенные от математики как целого, что ни у учителей, ни у учеников не возникает даже тени идеи, как такие вещи могли вообще сложиться.
Вместо естественного контекста задачи, РіРґРµ ученики могли Р±С‹ сами выбрать слова для обозначения сущностей, выдается бесконечная череда немотивированных априорных «определений». Программа навязывает жаргон Рё классификацию РЅРё для какой более цели, РєСЂРѕРјРµ возможности учителям проверять этот же жаргон РЅР° экзаменах. РќРё РѕРґРёРЅ математик РІ РјРёСЂРµ РЅРµ станет противопоставлять «смешанную РґСЂРѕР±СЊВ» 2 ½ «неправильной РґСЂРѕР±РёВ» 5/2. Да РѕРЅРё же равны! Рто РѕРґРЅРѕ Рё то же число, РёС… свойства одинаковы. Да кто хотя Р±С‹ РїРѕРјРЅРёС‚ эти слова после четвертого класса?
РљСѓРґР° легче, конечно, проверять знание бесцельных терминов, чем вдохновлять РЅР° создание прекрасного Рё РїРѕРёСЃРє своего собственного смысла. Даже если РјС‹ Рё согласимся, что базовый математический вокабуляр необходим, — это РЅРµ РѕРЅ. Пятиклассников учат говорить «ось абсцисс» Рё «ось ординат» вместо «осей x Рё yВ», РЅРѕ РЅРµ дают РёРј РїРѕРІРѕРґР° сказать такие слова, как «предположение» или «контрпример». Старшеклассников учат писать sec x, секанс, вместо обратной функции 1/cos x — «определению», обладающему такой же интеллектуальной силы, как сокращение «и С‚. Рї.В».В Рто сокращение вышло РёР· навигационных таблиц XV РІ. Рё РїРѕ-прежнему остается РІ С…РѕРґСѓ (РІ то время как, например, версинус вышел РёР· употребления) РІ наше время, РєРѕРіРґР° точные навигационные вычисления более РЅРµ проблема, РїРѕ чистой исторической случайности. Так СѓСЂРѕРєРё математики забиваются бесполезной терминологией РІРѕ РёРјСЏ терминологии.
Программа не столько последовательность тем или идей, сколько череда систем математической нотации. Математика как будто состоит из секретного списка математических символов и правил манипуляции ими. Малышам дают + и ÷. Более взрослым можно уже доверить √, а потом x и y и алхимию скобок. Затем им забивают в головы sin, log и f(x), а потом удостаивают d и ∫. Рвсе это происходит, разумеется, без математически осмысленного опыта.
Рта программа настолько недвижима, что учителя Рё авторы учебников РјРѕРіСѓС‚ надежно, Р·Р° РјРЅРѕРіРёРµ РіРѕРґС‹, предсказать, что ученики Р±СѓРґСѓС‚ делать, СЃ точностью РґРѕ номера страницы СЃ упражнениями. РќРµ вызывает удивления, РєРѕРіРґР° РІ 9 классе задают вычисление [f(x + h) в€’ f(x)] / h для различных функций f, так чтобы РѕРЅРё «уже видели» это выражение, РєРѕРіРґР° Сѓ РЅРёС… Р±СѓРґСѓС‚ начала анализа три РіРѕРґР° спустя. Естественно, РЅРµ дается (РґР° Рё РЅРµ ожидается) никакой мотивации пониманию, что означает эта РЅР° первый взгляд случайная комбинация операторов. ВУчителя, пытающиеся объяснить, что это означает, Рё — уверен! — полагающие, что оказывают школьникам услугу, РЅР° самом деле просто дают РёРј еще РѕРґРЅРѕ скучное упражнение. «Чего РѕС‚ меня хотят? Рђ, Рё это РґРѕ кучи? РЈРіСѓВ».
Еще один пример — когда школьников учат выражать информацию в неоправданно сложной и неестественной форме просто потому, что когда-то, в далеком будущем, это будет иметь смысл. Задумывается ли хоть на секунду учитель 6-го класса, заставляя учеников записать утверждение «x находится в интервале от 3 до 7» в виде |x – 5| < 2, зачем он это делает? Авторы бестолковых учебников серьезно полагают, что этим помогают ученикам подготовиться ко дню «Ч», когда много лет спустя они начнут изучать аналитическую геометрию или абстрактные метрические пространства? Сомневаюсь. Думаю, что просто копируя друг друга десятилетиями, меняя, самое большее, шрифт или цвет под выделенным текстом, они лучатся гордостью оттого, что школьная система приняла их новый учебник, и тем самым становятся ее невольными сообщниками.
Математика — это решение задач, и именно решение задач должно быть в центре математической жизни школьника. Как бы ни было тяжело, какие бы ни случались неудачи — ученики и учителя должны быть вместе на этом пути — находя идеи, не находя идей, открывая закономерности, строя предположения, конструируя примеры и контрпримеры, приводя аргументы и критикуя работу друг друга. Определенная техника образуется в процессе этой работы, как это происходило исторически: не в изоляции от решения задач, но в органическом соединении с этим процессом.
Преподаватели СЂРѕРґРЅРѕРіРѕ языка знают, что орфография Рё пунктуация лучше всего изучаются РІ процессе чтения Рё РїРёСЃСЊРјР°. Учителя истории знают, что имена Рё даты совершенно неинтересны РІ отрыве РѕС‚ картины исторических событий. Отчего же математическое обучение застряло РІ XIX РІ.? Сравните ваши воспоминания РѕР± СѓСЂРѕРєРµ алгебры СЃ этим воспоминанием Бертрана Рассела[14]:
Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект.
Разве изменилось что-РЅРёР±СѓРґСЊ СЃ тех РїРѕСЂ?
Симплицио. Не думаю, что так будет честно. Конечно, методы обучения изменились!
Сальвиати. РўС‹ имеешь РІ РІРёРґСѓ методы тренировки. Учение — непростые человеческие отношения; метода здесь быть РЅРµ может. Рли, давай СЏ так скажу: если тебе нужен метод, значит, ты РЅРµ очень хороший учитель. Если Сѓ тебя нет достаточно «чувства» своего предмета, чтобы говорить Рѕ нем СЃРІРѕРёРјРё словами, естественно Рё спонтанно, значит, ты Рё сам его РЅРµ понимаешь. Р, РіРѕРІРѕСЂСЏ Рѕ том, что учительство застряло РІ девятнадцатом веке — тебя РЅРµ пугает, что программа РїСЂРё этом застряла РІ семнадцатом? Подумай РѕР±Рѕ всех тех потрясающих открытиях Рё глубоких переворотах РІ человеческой мысли, что произошли Р·Р° последние три века! РћРЅРё РЅРµ упоминаются, словно Р±С‹ РёС… Рё РЅРµ было.
Симплицио. Может, ты просто слишком многого хочешь от учителей математики? Чтобы они оказывали индивидуальное внимание трем десяткам учеников, ведя их по их собственным путям открытий и просвещения, да еще чтобы они следили за последними математическими открытиями?
Сальвиати. А ты хочешь, чтобы учитель рисования мог дать тебе толковый совет по поводу твоей картины, чтобы он знал историю последних трехсот лет живописи? А серьезно — нет, я и не жду этого, просто мечтаю о том, чтобы так было.
Симплицио. Значит, виноваты учителя математики?
Сальвиати. Нет, виновата культура, которая их производит. Они стараются как лучше, но делают так, как их учили. Уверен, многие из них любят учеников, и им не нравится подвергать их тому, что им приходится делать. Они ощущают, что такое преподавание бессмысленно, и только вредит. Они чувствуют, что делаются шестеренками в мясорубке духа. Однако, у них не хватает перспективы, чтобы осознать это, тем более бороться с этим. Они должны «готовить учащихся к переходу в следующий класс».
Симплицио. Ты и вправду думаешь, что все студенты имеют столь высокий уровень, чтобы создавать собственную математику?
Сальвиати. Если мы и в самом деле думаем, что творческое мышление — это слишком «высокий уровень» для наших учеников, зачем тогда мы заставляем их писать работы по истории и литературе? Проблема не в том, что школьники не могут того, что ты говоришь, — проблема в том, что учителя этого не могут! Они никогда не доказывали ничего сами — как же они могут направить на правильный путь ученика? Как бы там ни было, очевидно, что разброс в способностях школьников будет, но, по крайней мере, они смогут любить или ненавидеть математику такой, какая она есть, а не эту кустарную под нее подделку!
Симплицио. РќРѕ ведь РјС‹ точно хотим, чтобы ученики обладали определенным набором базовых знаний Рё умений. Р’РѕС‚ для чего нужна программа, Рё РІРѕС‚ почему РѕРЅР° единообразна: существует некий набор основных фактов, одинаково необходимый всем Рё РІРѕ РІСЃРµ времена. 1 + 1 = 2, СЃСѓРјРјР° углов треугольника равна 180В°. Рто РЅРµ мнения Рё РЅРµ художественные оценки.
Сальвиати. Напротив. Математические структуры, Рё практически полезные, Рё нет, возникают РІ контексте задач, Рё получают смысл только РёР· этого контекста. РРЅРѕРіРґР° РјС‹ хотим, чтобы 1 + 1 равнялось нулю — РІ арифметике РїРѕ модулю 2. РЎСѓРјРјР° углов треугольника РЅР° сфере больше 180В°. Рто РЅРµ факты сами РїРѕ себе — РІСЃРµ здесь относительно. Важна повесть, Р° РЅРµ развязка сюжета.
Симплицио. Я уже устал от твоей мистической болтовни! Скажи мне, вот базовая арифметика — ты согласен или не согласен с моим мнением, что ученики должны ее знать?
Сальвиати. Смотря что ты называешь «базовой арифметикой». Если ты называешь ею понимание задач счета Рё разбиения, преимущества РіСЂСѓРїРїРёСЂРѕРІРєРё Рё поименования, различение вещи Рё ее обозначения, историю развития счетных систем — РґР°, СЏ считаю, что школьники должны это изучать. Если же ты называешь ею заучивание арифметических фактов РІРЅРµ базовой системы концепций — нет. Рсследование РІРѕРІСЃРµ РЅРµ очевидного факта, что пять кучек РїРѕ семь это столько же, сколько семь кучек РїРѕ пять — РґР°. Заучивание правила, что 5 Г— 7 = 7 Г— 5 — нет. Занятие математикой — это всегда открытие закономерностей Рё создание красивых Рё осмысленных объяснений.
Симплицио. Ладно, Р° геометрия? Школьники РІСЃРµ время доказывают геометрические теоремы. Разве, РїРѕ-твоему, СѓСЂРѕРєРё геометрии РІ старших классах — РЅРµ образец того, какими должны быть СѓСЂРѕРєРё математики?
Геометрия в старших классах: инструмент дьявола
Ничто так не раздражает автора едкого обличения, как предложение самой главной жертвы его яда в качестве аргумента в поддержку его мысли. Нигде волк в овечьей шкуре не вероломен настолько, как на уроке геометрии. Такая попытка школы дать введение в искусство рационального рассуждения опасна сама по себе.
Ртот РІРёСЂСѓСЃ атакует математику РІ самое сердце, создавая иллюзию, будто именно РЅР° СѓСЂРѕРєРµ геометрии школьники знакомятся СЃ математическим рассуждением, Рё тем самым разрушает саму суть творческого рационального мышления, отравляя учеников РІ стремлении Рє этому занимательному Рё красивому предмету, навсегда калеча РёС… способность мыслить Рѕ математике естественным Рё интуитивным путем.
Механизм, стоящий за этим, тонок и изощрен. Жертва-ученик сначала оглушается и парализуется потоком бессмысленных определений, положений и значков, а затем медленно и болезненно отлучается от естественного интереса и интуиции о геометрических формах и их закономерностях систематической пропагандой корявого языка и искусственного формата так называемого «формального геометрического доказательства».
Скажем прямо и без метафор: урок геометрии есть наиболее эмоционально и ментально деструктивная компонента всей математической программы от первого класса и до последнего. Другие математические курсы могут спрятать прекрасную птицу или посадить ее в клетку; лишь на уроке геометрии ее подвергают бездушным пыткам. (Нет, видимо, я еще не готов говорить без метафор.)
Здесь систематически подрывается интуиция ученика. Доказательство, математическое рассуждение есть произведение искусства, поэма. Ее цель — удовлетворить. Красивое доказательство призвано объяснять, и объяснять ясно, глубоко и элегантно. Хорошо написанное, проработанное рассуждение должно чувствоваться холодными брызгами и вести лучом маяка — освежать дух и освещать ум. Оно должно очаровывать.
В том, что сходит за доказательство на уроке геометрии, нет ничего очаровательного. Школьникам дают негибкий, догматический формат, в котором они должны производить так называемые «доказательства» — формат настолько непотребный и неподходящий, как, например, требование от детей, желающих высадить сад цветами, называть их цветы латинскими видом и родом.
Рассмотрим примеры этого безумия. Начнем СЃ СЂРёСЃСѓРЅРєР° РґРІСѓС… пересекающихся прямых:
На первом шаге рисунок следует замутить излишними обозначениями. Нельзя говорить о двух пересекающихся прямых: им следует дать вычурные обозначения. Не просто «прямая
1» и «прямая 2», или a и b. Мы должны, в соответствии с требованиями школьной геометрии, выбрать произвольные ненужные точки на этих прямых и называть эти прямые в соответствии со специальной «системой обозначения прямых».
ВВ
Теперь мы будем называть их AB и CD. Боже упаси забыть надчеркивание: запись AB обозначала бы длину отрезка (во всяком случае, как это делается сейчас[15]). Ничего, что эта система бессмысленно усложнена, просто научитесь ею пользоваться. Теперь начинается собственно доказательство, обычно предваряемое каким-нибудь абсурдным названием, например,
ТЕОРЕМА 2.1.1
Пусть AB Рё CD пересекаются РІ точке P. РўРѕРіРґР° в€APC в‰Њ в€APC[16]. | |
РўРѕ есть — что углы одинаковы. Да пересекающиеся прямые симметричны, ради всего святого! Р, как будто этого мало, это очевидно верное утверждение должно быть «доказано»:
Доказательство.
Утверждение | Объяснение | |
1. | mв€APC + mв€APD = 180 mв€BPD + mв€APD = 180 | Постулат Рѕ сложении углов. |
2. | mв€APC + mв€APD = mв€BPD + mв€APD | Свойство подстановки |
3. | mв€APD = mв€APD | Рефлексивное свойство равенства |
4. | mв€APC = mв€BPD | Аддитивное свойство равенства |
5. | в€APC в‰Њ в€BPD | Постулат РѕР± измерении углов |
Вместо остроумного и интересного рассуждения, написанного человеческим существом на одном из естественных языков Земли, нам предлагается это гнетущее, бездушное, бюрократическое заполнение бланка. Ркакого слона удалось раздуть из мухи! Мы что, на самом деле хотим показать, что самоочевидное наблюдение требует такого огромного введения? Честно: вы его прочитали или нет? Нет. Кто станет это читать?
Такой вывод столь элементарного утверждения заставляет людей сомневаться в собственной интуиции. Подвергая сомнению очевидное, настаивая на том, чтобы оно было «строго доказано» (как будто вышеприведенное доказательство строгое!), ученику как бы говорят: «Твоя интуиция и твои идеи сомнительны. Ты должен говорить и думать по-нашему».