Основные методы интегрирования. 8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

8.2.1. Формула Ньютона-Лейбница

Для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a;b]функции f(x) в том случае, когда может быть найдена ее первообразная F(x)служит формула Ньютона-Лейбница:

,

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования используют формулу

 

Пример. Вычислить определенные интегралы.

 

1) .

 

2)

8.2.2. Метод подстановки

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (метод подстановки) данный интеграл преобразуется с помощью подстановки t=y(x) или x=j(t) в определенный интеграл относительно новой переменной интегрирования t. При этом старые пределы интегрирования a, b заменяются новыми переделами интегрирования aи bсоответственно, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: a=y(a), b=y(b). Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений j(a)=a, j(b)=bотносительно a и b.

Таким образом, имеем

Здесь предполагается, что функции j(t)и j΄(t) непрерывны на отрезке [a; b], а функция f(j(t)) определена и непрерывна на отрезке a£ t£ b.

Пример. Вычислим методом подстановки интеграл .

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки t=2x–1. Дифференцируя, получим dt=2dx, откуда dx=dt/2. Находим новые пределы интегрирования: подставляем в соотношение t=2x–1значения x=2, х=3. Тогда получим α=3, β=5. Следовательно,

.

В дальнейшем при решении методом подстановки будем использовать форму записи как в неопределенном интеграле, используя вертикальные скобки.

8.2.3. Интегрирование по частям

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то для вычисления определенного интеграла используют формулу , которая называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Положим Тогда По формуле интегрирования по частям имеем

.

 

Примеры

№1. Используя формулу Ньютона-Лейбница, найти интегралы:


а) ;

б) ;


в) ;

г) .

Решение.

а) Для нахождения первообразной проведем преобразования, чтобы получить табличный интеграл (в подкоренном выражении выделим полный квадрат):

б)

.

 

в)

 

г) .

№2. Вычислить интегралы методом подстановки:


а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

а)

 

б)

 

в)

 

г)

.

 

№3. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

Решение.

а)

 

б)

 

Варианты заданий

№8.1. Вычислить интегралы по формуле Ньютона-Лейбница:


а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;


з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) ;

н) ;

о) .

№8.2. Вычислить интегралы методом подстановки:


а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .


№8.3. Вычислить интегралыинтегрированием по частям:


а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;


е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) .