Закон сложения вероятностей

Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).

Если А и В совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В несовместные события, то сумма А + В означает наступление или события А или события В.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + (В).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А +В) = Р(A) + P(В) – Р(АВ).

Сумма вероятностей дискретных событий, образующих полную группу, равна единице P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)=1 или .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р( ) = 1 ,

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились равна 0,67. Вероятность того, что некоторые зубы отсутствуют равна 0,24. Вероятность того, что он беззубый равно 0,09. Вычислить вероятность того, что у пациента несколько зубов.

Решение: Р(А +В) = Р(А) + Р(В) = 0,67 + 0,24 = 0,91.

Вероятность попадания в опухолевую клетку "мишень" первого радионуклида равна Р(A₁) = 0,7, а второго – Р(A₂) = 0,8. Найти вероятность попадания в клетку-"мишень", если бы одновременно использовались оба препарата.

Решение: Р(А₁ + A₂) = Р(А₁) + Р(A₂) – Р(А₁ A₂) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, 50% – мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют и мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у мухи, наудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из этих мутаций?

Решение: А – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутации глаз. В – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутацию крыльев. Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Тогда

Р(А + В) = 0,25 + 0,5 – 0,4 0,25 = 0,65.

Варианты заданий

№12.1. В коробке 30 таблеток: 10 красных, 5 желтых, 15 белых. Найти вероятность появления цветной таблетки (т.е. или красной или желтой).

№12.2. В картотеке имеются истории болезней 8 пациентов. Если наугад взять первую, затем вторую, третью и т.д. истории болезней, то какова вероятность в каждом случае изъятия нужной истории болезни? Предполагается, что искомая история болезни имеется в картотеке. Рассмотрите 2 варианта: а) взятые истории болезней не возвращаются в картотеку; б) взятые истории болезней каждый раз возвращаются в картотеку и хаотически располагаются в ней.

№12.3. В коробке имеется 7 желтых и несколько белых таблеток. Какова вероятность вытащить белую таблетку, если вероятность вытащить желтую таблетку равна .Сколько белых таблеток в коробке?

№12.4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

№12.5. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру, и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что набранная цифра правильная?

№12.6. Одна секретарша напечатала 5 различных писем и надписала 5 конвертов с адресами. Предположим, что она вкладывает письма в конверты случайным образом. Какова вероятность того, что ровно четыре письма будут вложены в конверты с адресами тех лиц, кому они предназначены?

№12.7. Числа от 1 до 100 записывают на полосках бумаги, которые помещают в чашу. После продолжительного встряхивания случайным образом извлекают одну полоску.

а) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на 3?

б) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на 3 и на 5?

№12.8. Профессор выставляет 20 разных оценок за контрольные работы 20 студентов группы и заносит их в компьютер. При распечатке ведомости из-за ошибки в компьютере оценки случайно смешались.

а) Какова вероятность того, что каждый студент получит свою верную оценку?

б) Какова вероятность того, что ровно 19 студентов получат свои верные оценки?

№12.9. В клетке содержат 6 белых и 4 серых мыши. Рассмотрим эксперимент, состоящий в случайном извлечении из клетки трех мышей.

а) Опишите пространство выборок этого эксперимента.

б) Вычислите вероятность для четырех возможных комбинаций цвета мышей (3 белых, 2 белых и 1 серая и т.д.).

№12.10. Из 20 человек, одновременно заболевших гриппом, 15 выздоровели полностью за три дня. Предположим, что из этих 20 человек случайным образом выбиралось 5. Какова вероятность того, что все 5 выздоравливают за три дня? что выздоравливают только 4 человека? что ни один не выздоравливает?

№12.11. Требуется выбрать наудачу 10 человек из группы в 10 мужчин и 10 женщин.

а) Какова вероятность того, что выбрано 10 мужчин?

б) Какова вероятность того, что выбрано больше мужчин, чем женщин?

в) Какова вероятность того, что выбрано по крайней мере 8 мужчин?

№12.12. За игрушечной пишущей машинкой с буквами A, В, С, D и Е сидит шимпанзе. Если шимпанзе печатает четыре случайных буквы, то:

а) какова вероятность того, что окажется напечатанным слово «BEAD» («шарик»)?

б) какова вероятность того, что все напечатанные буквы одинаковы?

№12.13. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

№12.14. В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия. Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см³)?

№12.15. Вероятность того, что некий человек умрет на 71-м году жизни, равна 0,04. Какова вероятность того, что человек не умрет на 71-м году?

№12.16. При изучении миграций белого медведя девять медведей были помечены числами от 1 до 9. Три медведя отловлены повторно.

а) Пусть А_i обозначает событие, состоящее в том, что i-й отловленный медведь помечен четным числом. Какова вероятность Р(A₁), Р(А₂), Р(А₃)?

б) Найдите события A₁+A₂ и A₁+А₂+А₃.

№12.17. В ванну, где содержатся 3 рыбы: А, В и С, время от времени помещают кусочки пищи. Каждый раз, когда бросают кусочек, рыбы конкурируют за него. Допустим, что за длительный период было установлено, что А или В добивались успеха в течение времени, а А или С в течение всего времени наблюдения. 1) Какова вероятность того, что добивается успеха рыба A? 2) Какая из рыб накормлена лучше

№12.18. В некоторую больницу поступают пациенты с четырьмя видами болезней. Многолетние наблюдения показали, что этим группам соответствуют относительные частоты 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний с частотой 0,1 и 0,2 необходимо переливание крови. Какое количество больных следует обеспечить кровью, если в течение месяца поступило 1000 больных

№12.19. Опухоль-"мишень" разделена на три области. При использовании радионуклидного препарата вероятность поражения первой области равна 0,45; второй - 0,35. Найти вероятность того, что при однократном использовании радионуклид попадет либо в первую, либо во вторую область.

№12.20. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное или кратное трем число очков.

№12.21. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов A, В и С. Вероятность получения пакета из города A равна 0,6, а из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

№12.22. С первого предприятия поступило 200 пробирок, из которых 190 стандартных, а со второго - 300, из которых 280 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу взятая пробирка будет стандартной.

№12.23. На тридцати историях болезни написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30 (их порядковые номера). Эти истории болезни лежат на полке в случайном порядке. Какова вероятность вынуть историю болезни с номером кратным 2 или 3?

№12.24. В некоторой популяции у 40% людей волосы темные, у 40% — рыжие и у 20% —светлые. В этой популяции у всех темноволосых людей глаза карие, у всех светловолосых — голубые, у одной половины рыжеволосых — голубые, а у другой — карие. Пусть А₁, А₂ и А₃ — события, состоящие в том, что у человека соответственно темные, рыжие и светлые волосы, и пусть B₁и В₂ соответственно обозначают карие и голубые глаза.

а) Найдите Р(А₁), Р(B₁), Р(В₂) и Р(А₁+B₂).

б) Опишите событие А₁+A₂+A₃. Найдите вероятность этого события.

№12.25. В популяции из 2000 плодовых мушек у 250 особей обнаруживают рецессивный признак крыла W и у 150 - рецессивный признак глаза Е. Предположим, что у 50 мушек обнаруживают оба признака. Для эксперимента по скрещиванию из популяции выбирают одну мушку.

а) Какова вероятность, что у этой мушки будет признак W? E?

б) Какова вероятность, что присутствует признак W и E?

в) Вычислите Р( ).