Модель направленных отрезков
Задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операции сложения по определенному закону и умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве. В качестве геометрической модели или знаковой системы для определения этих объектов удобно использовать направленные отрезки, которые имеют заданное направление и длину. Сформулируем нашу первую задачу.
А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число.
Решение сформулированной задачи состоит из двух частей: 1) в определении направленных отрезков, определении указанных операций, доказательстве основных свойств этих операций и 2) указании критерия, согласно которому проверяется, достаточно ли сформулированных свойств для описания модели.
Вначале определим операции и построим систему свойств (аксиом). Направленный отрезок есть отрезок AB заданной длины, направленный параллельно некоторой прямой «l», причем порядок пары точек означает, что точка А – начало, В – конец направленного отрезка.
Для простоты будем направленные отрезки обозначать также одной буквой =
и т.д.
Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых с параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.
На множестве направленных отрезков ,
,
, ... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.
Суммой направленных отрезков и
назовем направленный отрезок
=
+
, который имеет то же начало, что и
и тот же конец, что и
, если начало отрезка
параллельным переносом совместить с концом
(рис 11, а).
Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что является направленной диагональю параллелограмма, построенного на сторонах
и
(рис. 4, b). Правило сложения (а) называется правилом треугольника, а правило сложения (b) – правилом параллелограмма.
Сложение обладает свойствами:
" и
+
=
+
" ,
и
(
+
)+
=
+(
+
)
Существует вектор такой, что "
+
=
(
– нулевой вектор)
" $ «–
» такой, что
+(–
)=
.
(«– » называется противоположенным вектору
).
Свойства 1 и 2 схематично представлены на рис 12, а и 12, b, соответственно.
Свойство 3 представляет возможность вырождения в точку одного из слагаемых:
+
=
,
=
Свойство 4 представляет правило сложения
![]() |




в котором естественно считать =–
. Длину направленного отрезка
будем обозначать |
|. Очевидно, что |
| = |
|.
Операция умножения отрезка на число a определяет направленный отрезок
=a
. Длина |
|= |a| |
|; направление
то же, что и у отрезка
, если a>0, и обратное, если a<0.
Свойства операции умножения:
· "
·1=
.
· " a, bÎR и " a ( b
) = ( a b )
.
· " aÎR и " ,
a (
+
) = a
+ a
.
· " a, bÎR и " (a+b)
= a
+ b
.
Доказательство восьми свойств сложения и умножения на число направленных отрезков можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.
Теперь сформулируем понятие вектора.
Определение
Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами.
В силу инвариантности направленных отрезков относительно параллельного переноса заключаем, что: 1) вектор – это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число также инвариантны относительно параллельного переноса.
Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков – геометрической моделью векторного пространства.
Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим арифметическую (координатную) модель векторного пространства.