Нормальный закон распределения. Закон равномерной плотности
Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид:
, где 
- среднее квадратичное отклонение, 
- математическое ожидание. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в интервал 
вычисляется по формуле:
, где
- функция Лапласа (интеграл вероятности).
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 
: 
Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, а именно 
, вне этого интервала 
.Для равномерно распределенной случайной величины 
6.1 Случайная величина Х распределена нормально с 
, 
. Записать плотность распределения вероятностей Х. Вычислить
вероятность попадания случайной величины Х в интервал (30, 80).
Решение:
, следовательно 
6.2 Вывести правила “ ”, “двух ” и “трех сигм”: вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины будет: а) меньше , равна 0,6826; б) меньше 2 , равна 0,9544; в) меньше утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973.
Решение:
а) 
( 
в данном случае равняется )
б) 
в) 
6.3 Случайная величина Х распределена нормально с 
, 
. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания величина Х.
Решение:
По правилу “трех сигм” случайная величина Х с вероятностью 0,9973 попадет в интервал ( 
), который в данном случае
( 
)=(-5, 25)
6.4 На некоторый полезный сигнал накладывается нормально распределенная помеха X с плотностью распределения 
, где X – напряжение тока в В. Найти вероятность того, что помеха по абсолютной величине не превысит: а) 4В; б) 6В.
Решение:
Из формулы для плотности вероятностей X, следует, что m=0, =2.
а) 
(4=2 
) по правилу “двух сигм”.
б) 
(6=3 ) по правилу “трех сигм”.
6.5 Для замера напряжений используются специальные датчики. Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2 мкв.
Решение:
Случайная величина Х – ошибка датчика 
, т.к. датчик не имеет систематических ошибок. По условию 
, следовательно
, по таблице для функции 
.
6.6 Коробки с шоколадом укладываются автоматически, их
средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 2,5% коробок имеют массу меньше 1 кг.
Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.
Решение:
Случайная величина Х – масса коробки. Т.к. средняя масса коробки равна 1,06, то 
. 2,5% коробок имеют массу меньше 1 кг, т.е.
, отсюда 
, 
(по таблице функции Лапласа)
6.7 Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально. Проектная длина равна 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм, б) меньше 40 мм. Записать плотность распределения этой случайной величины.
Решение:
Случайная величина Х – длина детали. Так как проектная длина равна 50 мм, то 
. Требуется найти вероятность того, что длина наудачу выбранной детали меньше 40 мм, но поскольку истинная длина заключена в интервале от 32 до 68 мм, то нужно найти вероятность того, что 32<X<40. Нахождение вероятности Х>55 сводится к вероятности того, что 55<X<68.
Итак, следует применить формулу
Неизвестным считается среднее квадратическое отклонение . Из условия задачи известно, что 
, т.к. фактическая длина деталей лежит в интервале (32, 68).
в силу нечетности функции Лапласа. Итак, 
откуда 
, а =3,6. Следовательно, плотность распределения случайной величины Х
, а искомые вероятности
6.8 Браковка шариков для шарикоподшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром 
, но проходит через отверстие диаметром 
, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика Х – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами 
, где 
- параметр
(0< < 
), который определяет точность изготовления шариков.
а) Определить вероятность того, что шарик будет забракован. б) Какую точность изготовления следует установить, чтобы брак составлял не более 2% всей продукции?
Решение:
б) 
(вероятность брака 2% из 100%)
, 
, 
(по таблице функции Лапласа) 
, 
6.9 Высотомер самолета делает систематическую ошибку +20 м. и случайные ошибки, подчиненные нормальному закону со средним квадратичным отклонением 30 м. Для самолета отведен коридор высотой в 100 м. Какова вероятность того, что он будет лететь: а) внутри коридора; б) ниже коридора; в) выше коридора?
Решение:
Пусть случайная величина Х – ошибка высотомера.
, т.к. систематическая ошибка 20 м., 
Предполагается, что летчик ведет самолет наиболее разумным способом, т.е. так, чтобы высотомер показывал середину отведенного коридора. Тогда самолет будет лететь внутри коридора, если /Х/<50 м.
Использовали определение функции распределения 
и свойство функции нормального распределения
6.10 Составить выражения дифференциальной и интегральной функций распределения фазы 
вектора, который с равной вероятностью может иметь любую фазу в интервале (0;2 
).
Решение:
1) 
2) 
3) 
6.11 Цена деления шкалы вольтметра 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) больше 0,01; б) меньше 0,06.
Решение:
Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, распределенную равномерно между двумя целыми делениями
Ошибка отсчета превысит 0,01, если она будет заключена в интервале (0,01;0,19). По формуле 
, получим
Ошибка будет меньше 0,06, если она будет заключена в интервале (0;0,06) или в интервале (0,14;0,2)
6.12 Поезда метро идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в произвольный момент времени. Определить плотность и интегральную функцию распределения времени ожидания поезда, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной поезд меньше 30 секунд.
Решение:
Случайная величина Х – время ожидания, величина распределена равномерно в интервале (0;2)
1) 
2) 
3) 
,
Пассажир будет ожидать очередной поезд меньше 30 сек. (1/2 минуты), если случайная величина Х заключена в интервале (1,5;2)
6.13 Рыболов ловит рыбу в пруду, где равновероятно поймать любую рыбу от 0,2 до 1 кг при каждом забрасывании снасти. Найти среднюю величину улова и вероятность поймать при одном забрасывании не более 0,8 кг.
Решение:
Случайная величина Х – величина улова
Средняя величина улова 
6.14 На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минуты – красный, затем опять 1 минуту горит зеленый свет; 0,5 минуты – красный и т.д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой светофора. а) найти вероятность того, что он проедет перекресток, не останавливаясь. б) Найти закон распределения и числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.
Решение:
Момент проезда автомашины через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре. Этот период равен 1+0,5=1,5 (мин.)
Чтобы машина проехала через перекресток, не останавливаясь, достаточно, чтоб момент проезда перекрестка пришелся на интервал времени (0;1),
т.е. 
Время ожидания 
есть смешанная случайная величина, с вероятностью 2/3 она равна 0, а с вероятностью 1/3 принимает с одинаковой плотностью вероятности любое значение между 0 и 0,5 мин. Среднее время ожидания у перекрестка
(мин)
(мин2).
6.15 Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами 
. Что больше 
или 
?
Ответ: р1=0,1517; р2=0,1359
6.16 На полезный сигнал накладывается случайная нормально распределенная помеха с плотностью распределения 
, где u – напряжение в В. Найти вероятность того, что помеха не превысит по абсолютной величине 3В.
Ответ: 0,9973
6.17 Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 
.
Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
Ответ: 2Ф(0,5)=0,383
6.18 На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией 0,04 см 
. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20,3 см. Какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95.
Ответ: р1=Ф(1,5)=0,8664 (5 
1,96) 0,392
6.19 Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна 1200 м. Предполагая, что дальность полета Н распределена по нормальному закону со средним квадратическим отклонением 40 м, найти, какой процент выпускаемых снарядов даст перелет от 60 до 80 м.
Ответ: P(1260<X<1280)=0,0444% (Ф(2)=0,4772 Ф(1,5)=0,4332)
6.20 Цена деления шкалы измерительного прибора 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
Ответ: р1=0,4; р2=0,5
6.21 Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус меньше 3 минут.
Ответ: р=0,6.
§7.Системы случайных величин.
Двумерной называют случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел 
. Составляющие X и Y,рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Дискретной называют двумерную случайную величину, составляющие которой дискретны. Непрерывной называют двумерную случайную величину, составляющие которой непрерывны. Интегральной функцией распределения двумерной случайной величины называют 
.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан:
а)в виде таблицы с двойным входом,содержащей возможные значения и их вероятности; б)аналитически,например,в виде интегральной функции.
Дифференциальной функцией распределения непрерывной двумерной случайной величины называют 
Зная дифференциальную функцию 
,можно найти интегральную по формуле : 
Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область 
определяется равенством 
Свойства дифференциальной функции :
1. 
2. 
Если составляющие X и Y дискретны и их возможные значения : 
условным распределением составляющей X при 
называют совокупность условных вероятностей 
, где 
Если X и Y непрерывны,то условной дифференциальной функцией 
составляющей 
при заданном значении 
называют отношение дифференциальной функции системы к дифференциальной функции составляющей 
: 
аналогично, 
Величины X и Y являются независимыми,если условные дифференциальные функции случайных величин X и Y равны их безусловным дифференциаль-
ным функциям.
Числовые характеристики системы случайных величин :
для непрерывной системы :
корреляционный момент системы (X,Y) 
для дискретной системы :
Коэффициент корреляции (служит для оценки тесноты линейной связи
между X и Y ) 
Если 
,то X и Y называют коррелированными. Из коррелированности X и Y следует их зависимость,из независимости X и Y следует их некоррелированность.
Корреляционная матрица системы двух случайных величин X и Y: 
7.1.По некоторой цели производится 2 выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Составить закон распределения системы случайных величин (X,Y), считая ,что X-число попаданий,а Y-число промахов.
Решение : случайные величины X и Y могут принимать значения 0,1,2. Заметим,что
и 
как вероятности невозможных событий. Введём события 
={попадание при k-том выстреле},k=1,2. 
 X
Y
| |||
| 0,49 | |||
| 0,42 | |||
| 0,09 |
7.2. Система дискретных случайных величин (X,Y) имеет закон распределения :
| X
Y
| |||
| -2 | 0,1 | 0,05 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 | 0,2 | |
| 0,1 | 0,05 | 0,1 |
Найти : а) законы распределения составляющих X и Y;б) условный закон распределения составляющей X,при условии,что Y приняла значение 
;в) условный закон распределения составляющей Y при условии,что X приняла значение 
;г) функции распределения составляющих X и Y;д) условные функции распределения составляющих 
и 
.
Решение :
a)
Аналогично находим 
и 
| X | Y | -2 | ||||||
| p | 0,3 | 0,2 | 0,5 | p | 0,35 | 0,4 | 0,25 |
Аналогично находим 
и 
б) 
; 
; 
| X | |||
| 
| 
| 
|
в) 
| Y | -2 | ||
| 
| 
|
|
г) 
д) 
7.3.Даны ряды распределения составляющих X и Y системы независимых дискретных случайных величин. Найти : а) закон распределения 
;б) функции распределения составляющих 
;в) функцию распределения системы 
:
| 
| -2 | ||||||
| 0,3 | 0,2 | 0,5 | 
| 0,35 | 0,4 | 0,25 |
Решение :
а) применяя теорему умножения для независимых событий, получим 
и т.д.
 X
Y
| |||
| -2 | 0,105 | 0,07 | 0,175 |
| 0,12 | 0,08 | 0,2 | |
| 0,075 | 0,05 | 0,125 |
б) 
для системы независимых случайных величин X и Y 
:
 X
Y
| 
| 
| 
| 
|
| ||||
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
7.4. Распределение вероятностей случайной величины задано таблицей
 X
Y
| -1 | ||
| 0,1 | 0,3 | 0,1 | |
| 0,2 | |||
| 0,1 | 0,2 |
Определить математические ожидания и корреляционную матрицу данных величин, коэффициент корреляции. Зависимы ли X и Y ?
Решение:
,следовательно X и Y коррелированы. 
. X и Y зависимы , т.к. из коррелированности следует зависимость.
7.5. Имеется урна с 3 белыми и 3 чёрными шарами. Производится последовательное извлечение шаров (без возвращения ) до первого появления белого шара,X-число извлечённых шаров. Далее извлечение продолжается до первого появления чёрного шара :
Y-число шаров,извлечённых во второй серии. а) Требуется составить закон распределения . б) Описать законы распределения отдельных случайных компонент X и Y. в) Описать условный закон распределения случайной величины X при условии Y=2 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание 
. г) Вычислить основные характеристики случайного вектора : 
.д) Найти функцию распределения составляющей X и условную функцию распределения 
.
Решение : Для описания закона распределения дискретного случайного вектора необходимо определить множество всех возможных пар значений 
и соответствующие вероятности. Результат удобно представить в виде следующей таблицы :
 X
Y
| 
| ||||
| 
| 
| 
| ||
|
| 
|
| 
| 
| |
|
|
|
| 
| ||
| 
|
|
|
|
а) Применяя теорему умножения для зависимых событий,получим 
;
, 
; 
; 
; 
, 
; 
как вероятности невозможных событий.
б) 
,аналогично найдём
| 
| ||||||||
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
в) Условный закон распределения случайной компоненты X при условии,что компонента Y приняла значение равное 2,находим по формуле 
,результат оформим в виде таблицы
| ||||
| 1/2 | 1/3 | 1/6 |
при этом математическое ожидание 
г) искомые характеристики вычислим по известным формулам 
, аналогично 
, 
д) 
7.6. Задана дифференциальная функция системы случайных величин : 
.
Найти A.
Решение : А найдём из свойства 
,что 
,
, 
7.7. Задана интегральная функция двумерной случайной величины
Найти дифференциальную функцию системы (X,Y) и вероятность попадания случайной точки в область D: 
.
Решение:
7.8. Дана дифференциальная функция системы двух случайных величин
Найти параметр А и интегральную функцию системы F(x,y).
Решение:
1)x<0 или y<0
2) 
7.9.Дана дифференциальная функция системы двух случайных величин (X,Y)
Доказать, что составляющие X и Y независимы.
Решение:
Найдем дифференциальную функцию составляющей Х
при 
аналогично
при 
Найдем условные дифференциальные функции составляющих:
при
при
X и Y независимы, т.к. 
, 
7.10. Система двух непрерывных случайных величин X и Y, равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника Д с вершинами О (0,0), А (0,8), В (8,0).
Найти: а) дифференциальную функцию системы;
б) дифференциальные и условные дифференциальные функции составляющих; в) зависимы ли X и Y?
Решение:
X и Y зависимы.
7.11. Случайная точка (X,Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R
Написать выражение плотности распределения f(x,y), плотностей распределения 
отдельных величин X,Y , входящих в систему; условных плотностей 
и 
. Зависимы или независимы случайные величины X,Y?
Решение: площадь квадрата равна 2 ( диагональ =2),поэтому
т.е.
аналогично
X и Y зависимы.
7.12. Коэффициенты 
и 
квадратного уравнения 
наудачу и независимо друг от друга выбираются из отрезка [0;2]. Найти вероятность того, что корни этого уравнения окажутся действительными.
Решение:
Слово “наудачу” означает, что каждая из случайных величин и имеет равномерное распределение на [0;2].
Случайные величины и независимы, поэтому
Корни действительны тогда и только тогда, когда дискриминант 
, т.е. 
.
Неравенство выполняется для точек квадрата D, принадлежащих областям 
и 
.
7.13. Найти числовые характеристики и построить корреляционную матрицу для системы двух случайных величин (X,Y), заданную плотностью вероятностей
Решение:
 |  |
7.14. Задана дифференциальная функция системы двух случайных
величин (X,Y)
Найти , интегральную функцию системы F(x,y), P(0<X<2, -1<Y<2), числовые характеристики 
, 
, 
; плотности распределения составляющих; условные плотности распределения 
.
Решение: найдем из свойства дифференциальной функции
a) x<0 или y<0
б) 0£x£3, 0£y£3
в) 0£x£3, y>3
г) x>3, 0£y£3
д) x>3, y>3
Итак,
 |
7.15. В первом ящике 
6 шаров, во втором также 6 шаров.
1 ящик: 1 шар с №1, 2 шара с №2, 3 шара с №3. 2 ящик: 2 шара с №1, 3 шара с №2, 1 шар с №3. Пусть Х - номер шара, вынутого из 1 ящика, Y - номер шара, вынутого из 2 ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу закона распределения системы случайных величин (X,Y).
Ответ:
 X
Y
| |||
| 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 |
7.16.Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
| X
Y
| -1 | |||
| 0,05 | 0,12 | 0,08 | 0,04 | |
| 0,09 | 0,3 | 0,11 | 0,21 |
Найти: а) законы распределения составляющих X и Y;
б) условный закон распределения составляющих Х при условии, что Y приняла значение 
;