Найпростіші потоки з можливою нестаціонарністю

О.А. Кобилін

Вступ
1 Робоча програма дисципліни. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Потоки вимог. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Найпростіші потоки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Найпростіші потоки з можливою нестаціонарністю. . . . . . . . .
2.3 Найпростіші потоки з можливою неординарністю. . . . . . . . . .
2.4 Найпростіші потоки з післядією . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Потоки Пальма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Потоки Ерланга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Підсумовувавання і роз'єднання найпростіших потоків. . . . . .
2.8 Показовий закон розподілу часу обслуговування . . . . . . . . . .
2.9 Завдання до самостійної роботи №1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Елементи теорії систем масового обслуговування . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Класифікація систем масового обслуговування. . . . . . . . . . . . .
3.2 Рівняння Колмогорова для ймовірностей станів . . . . . . . . . . . .
3.3 Система масового обслуговування з відмовами. . . . . . . . . . . . .
3.4 Система масового обслуговування з обмеженою довжиною черги. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Система масового обслуговування з очікуванням. . . . . . . . . . .
3.6 Система масового обслуговування з обмеженим часом очікування. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Замкнуті системи масового обслуговування . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Завдання до самостійної роботи №2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Завдання до самостійної роботи №3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Завдання до самостійної роботи №4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ВСТУП

Метою дисципліни "Теорія масового обслуговування" є ознайомлення студентів із теорією управління випадковими процесами в системах масового обслуговування. У рамках дісципліни розглядаються методи моделювання вихідних потоків та різноманітних класів систем масового обслуговування, наприклад, розглядаються методи моделювання пуаcсонівського потоку, одноканальні та багатоканальні системи масового обслуговування.

За результатом вивчення дисципліни студенти повинні знати принципи побудови систем масового обслуговування, вміти моделювати системи масового обслуговування згідно з вихідними даними системи та характеристиками її функціонування. Для вивчення дисципліни студенти повинні знати та вміти використовувати знання отримані з дисциплін „Математичний аналіз та Теорія ймовірності”, зокрема, марковські процеси.

Дисципліна складається з двох змістовних частин: потоки вимог та системи масового обслуговування. Структура дисципліни: 15 лекційних занять та 6 лабораторних робіт. За допомогою методичних вказівок студенти мають можливість підготуватися до виконання контрольних робіт по кожному зі змістовних модулів.

РОБОЧА ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ

Теми, які розглядаються на лекційних заняттях.

1. Введення до теорії масового обслуговування

Предмет, мета і задачі дисципліни. Основні поняття ТМО. Похідні функції.

2. Теорія потоків

Класифікація потоків. Простий пуассонівський потік. Модифікації простого потоку. Час обслуговування. Підсумовування потоків. Рекурентний потік. Квазірекурентний потік.

3. Одноканальні системи масового обслуговування

Класифікація систем масового обслуговування (СМО), СМО з відмовами, СМО з обмеженою чергою, СМО з очікуванням, СМО з обмеженим часом очікування, замкнуті СМО

4. Багатоканальні СМО та мережі масового обслуговування, N-канальні СМО з відмовами, N-канальні СМО з очікуванням, системи поллінга.

Теми лабораторних робіт.

1. Моделювання Пуассонівського потоку.

2. Підсумовування та роз`єднання простих потоків.

3. Вивчення та моделювання СМО з відмовами.

4. Моделювання реального процесу обслуговування СМО з відмовами.

5. Вивчення N – канальної СМО з очікуванням.

6. Моделювання реального процесу обслуговування СМО з необмеженою чергою.

Оцінювання знань з дисципліні здійснюється так: студенти отримують шість оцінок з лабораторних робіт та дві оцінки з контрольних робіт. Підсумкова оцінка – це сукупність оцінок, отриманих протягом вивчення дисципліни.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. – М. Физматгиз, 1963. – 236 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / 9е издание. – М.: Наука, 2003. – 576с.

3. Боровков А.В. Асимптотические методы теории массового обслуживания. – М.: Физматгиз, 1980. – 381с.

4. Климов В.И. Стохастические системы обслуживания. – М.: Физматгиз, 1966. – 243с.

ПОТОКИ ВИМОГ

Потоком вимог (подій) називається послідовність однорідних вимог, що з'являються одна за іншою у випадкові моменти часу. Приклади: потік викликів на телефонній станції; прибуття потягів на станцію; потік збоїв ЕОМ; потік заявок на проведення регламентних робіт в обчислювальному центрі і т.п.

Потоки вимог мають такі властивості, як стаціонарність, ординарність і відсутність післядії.

Властивість стаціонарності означає, що з часом імовірнісні характеристики потоку не змінюються. Потік можна назвати стаціонарним, якщо для будь-якої кількості k вимог, що надійшли за проміжок часу довжиною , ймовірність надходження вимог залежить тільки від довжини проміжку і не залежить від його розташування на осі часу.

Властивість ординарності означає практичну неможливість групового надходження вимог. Тому потік вимог можна назвати ординарним тоді, коли ймовірність надходження двох або більше вимог за будь-який нескінченно малий проміжок часу є величина нескінченно мала вищого порядку, ніж .

Властивість відсутності післядії означає незалежність імовірнісних характеристик потоку від попередніх подій. Іншими словами, ймовірність надходження k вимог у проміжок [t₁,t₂] не залежить від кількості, часу надходження і тривалості обслуговування вимог до моменту t₁.

До основних характеристик випадкового потоку відносять провідну функцію та інтенсивність.

Провідна функція випадкового потоку є математичним очікуванням кількості вимог у проміжку [0, t). Функція – невід’ємна, неспадна та у практичних задачах теорії розподілу інформації неперервна та приймає тільки кінцеві значення.

Інтенсивністю потоку подій називається середня кількість (математичне очікування кількості) подій, що приходиться на одиницю часу. Для стаціонарного потоку ; для нестаціонарного потоку інтенсивність у загальному випадку залежить від часу:

Розрізняють багато видів потоків вимог, але ми розглянемо найрозповсюдженіші, а саме найпростіші потоки та їх модифікації, потоки Пальма і потоки Ерланга.

Найпростіші потоки

Якщо потік вимог має властивості стаціонарності, ординарності і відсутності післядії, то такий потік називається найпростішим (або пуассонівским) потоком вимог.

Ймовірність надходження k вимог за проміжок часу t у пуассонівському потоці визначається виразом

Інтервал часу Т між двома сусідніми подіями найпростішого потоку має показовий розподіл

(при t>0),

де – величина, зворотна середньому значенню інтервалу Т.

Математичне очікування, дисперсія і середнє квадратичне відхилення проміжку T:

Отриманий збіг величин M і характерний для показового розподілу. Ця властивість на практиці використовується як критерій для первісної перевірки відповідності гіпотези про показовий розподіл отриманим статистичним даним.

Приклад. По шосе повз спостерігача рухається в одному напрямку найпростіший потік машин. Відомо, що ймовірність відсутності машин протягом 5 хвилин дорівнює 0,5. Потрібно знайти ймовірність того, що за
10 хвилин повз спостерігача проїде не більше двох машин.

Розв’язання. Приймемо за одиницю часу 5 хв. У задачі потрібно знайти

З умови випливає , тобто , отже, . Таким чином, у попереднє рівняння підставляємо і отримаємо .

Найпростіші потоки з можливою нестаціонарністю

Найпростішим потоком з можливою нестаціонарністю (нестаціонарним найпростішим потоком) є потік, що має властивості ординарності, у нього відсутня післядія і він має в кожен момент часу t кінцеве миттєве значення параметра .

Миттєва інтенсивність нестаціонарного найпростішого потоку визначається як межа відношення середньої кількості подій, що відбулися за елементарний інтервал часу , до довжини цього інтервалу, коли . Середня кількість подій, що виникають в інтервалі часу , який наступає безпосередньо за моментом , дорівнює . Якщо потік подій стаціонарний, то .

Тоді ймовірність виникнення k вимог для розглянутого виду потоку буде

Приклад. Розглянемо найпростіший потік з нестаціонарним параметром, що змінюється за законом . Параметр є періодичним, його період дорівнює 1/3. Знайти ймовірність відсутності вимог на відрізку [1,5].

Розв’язання. Довжина відрізка дорівнює чотири. Обчислимо середню кількість подій, що виникають в інтервалі часу

, тоді .