Решения заданий типа 41-50
Теоретический справочник
При вычислении пределов используются следующие свойства пределов:
, где
, т.е. предел постоянной равен самой постоянной.
, то
а)
;
б)
;
в) , если
.
Из свойств 10 и следует, что
, где
, т.е. постоянную можно выносить за знак предела.
Если
, то
.
Если
, то
.
.
Для всех элементарных функций
в любой точке их области определения имеет место равенство:
, т.е. предел функции находят непосредственной подстановкой предельного значения аргумента.
Из свойства следует, что предел суммы, произведения, частного двух функций равен, соответственно, сумме, произведению и частному пределов этих функций, если функции имеют конечные пределы (в случае частного предел знаменателя не равен нулю). Если
, то
приводит к неопределенности типа
; если
, то
приводит к неопределенности типа
; если
, то
приводит к неопределенности типа
. Чтобы вычислить такие пределы, т.е. «раскрыть неопределенность», необходимо провести дополнительные преобразования.
Пример 1. Вычислить предел .
Числитель и знаменатель дроби являются многочленами и при стремятся к бесконечности и, следовательно, имеем неопределенность
. Для раскрытия такой неопределенности вынесем в числителе и знаменателе
.
=
=
= =
= .
Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет меньшую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:
=
.
Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе имеет большую степень по сравнению с многочленом, стоящим в знаменателе:
=
.
Пример 2. Вычислить .
Определим, имеет ли место неопределенность. Для этого в выражение, стоящее под пределом подставим . Т.о. имеем неопределенность
. Разложим на множители числитель:
= , знаменатель:
и подставим это в предел
=
= =
.
Пример 3. Вычислить .
=
. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю:
.
=
.
Если при раскрытии неопределенности , дробь содержит тригонометрические функции, то в этом случае используют первый замечательный предел:
.
Пример 4. Вычислить .
=
. Преобразуем выражение
=
. Отдельно вычислим:
=
= =
. Аналогично,
=
=
= =
=
.
.
Следовательно, =
=
.
Пример 5.
=
=
= =
=
= .
При раскрытии неопределенности используют второй замечательный предел:
или
.
Пример 6. Вычислить .
Вычислим отдельно предел основания =
=
= =
и предел показателя
, получаем неопределенность
.
Преобразуем выражение в скобках к виду
, т.е.
. Из второго замечательного предела следует, что
, поэтому преобразуем показатель степени так, чтобы он содержал сомножитель
Таким образом
=
. Тогда
=
=
=
= =
=
.
Пример 7. Вычислить .
Выражение в скобках запишем в виде т.е.
. Следовательно, показатель степени должен содержать сомножитель
:
=
=
= =
.
Для раскрытия неопределенностей типа или
удобно использовать правило Лопиталя-Бернулли:
, т.е. предел отношения функций в случае неопределенности
или
равен пределу отношения производных этих функций.
Для применения правила Лопиталя-Бернулли необходимо научиться вычислять производные функций.
Пример 8. Вычислить .
=
.
Правило Лопиталя-Бернулли при вычислении предела можно применять несколько раз.
Пример 9. Вычислить .
=
=
=
=
.