Периодограммные оценки спектральной плотности мощности
Одним из формальным определением СПМ, основанным на допущении об эргодичности, является следующая дискретно-временная форма:
| (8) |
Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания и полагая, что конечное множество данных х[0],... ,x[N–1] содержит N отсчетов, получаем выборочный спектр
| (9) |
который может быть вычислен по конечной последовательности данных. Это исходная немодифицированная форма периодограммной оценки СПМ. Данный выборочный спектр будет давать статистически несостоятельные (т. е. неустойчивые) оценки СПМ, поскольку была опущена операция вычисления математического ожидания, предусматриваемая выражением (8). Поэтому для сглаживания периодограммной оценки необходимо применять что-то вроде псевдоусреднения по ансамблю. Предложены три основных типа методов сглаживания. В методе Даньелла периодограмма сглаживается путем усреднения по соседним ячейкам частотного разрешения. В методе Бартлетта производится усреднение по множеству периодограмм, получаемых по сегментам исходной последовательности данных.
Уэлч модифицировал основную схему метода сегментирования и усреднения Бартлетта за счет применения окна данных и использования перекрывающихся сегментов. Перед вычислением периодограммы каждого сегмента этот сегмент обрабатывается с помощью окна данных. Цель применения окна — за счет незначительного ухудшения разрешения ослабить эффекты из-за боковых лепестков и уменьшить смещение оценок. Цель перекрытия сегментов — увеличить число усредняемых сегментов при заданной длине записи данных и тем самым уменьшить дисперсию оценки СПМ. На основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычислительную процедуру для реализации своего метода усреднения периодограмм взвешенных и перекрывающихся сегментов данных, и именно это сделало метод Уэлча самым популярным периодограммным методом спектрального оценивания в наши дни.
Если запись комплексных данных из x(0),…,x(N–1) отсчетов разбита на Р сегментов по D отсчетов в каждом со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами (S£ D), то максимальное число сегментов P будет определяться целой частью числа (N–D)/S+1. Взвешенный р-й сегмент будет состоять из
| x(p)(n)=w(n)x(n+pS) | (10) |
отсчетов, 0£ n£ D-1, а номер сегмента р лежит в интервале 0£ р£ Р-1. Выборочный спектр взвешенного р-го сегмента в диапазоне частот
–1/2∆T£ f£ 1/2∆T определяется выражением:
| (11) |
где
 —
| (12) |
дискретно-временное преобразование р-го сегмента, а
| (13) |
энергия дискретно-временного окна. Среднее значение периодограмм взвешенных сегментов дает оценку периодограммы Уэлча 
:
| (14) |
Множитель U в (11) устраняет эффект влияния энергии окна на смещение в оценке СПМ .
Уэлч, в частности, предложил использовать окно Ханна и 50%-ное перекрытие сегментов, которое обеспечивало очень эффективные реализации его метода на основе алгоритма БПФ при вычислении оценки (14) на некоторой сетке частот. Кроме того, при 50%-ном перекрытии сегментов все данные используются дважды, за исключением D/2 отсчетов на каждом конце исходной N-точечной последовательности данных, а это выравнивает обработку большинства отсчетов данных, поскольку те отсчеты, которые имели малые веса на одном сегменте, получают большие веса на следующем сегменте.
Благодаря перекрытию по заданной записи данных можно сформировать большее число сегментов, чем в методе Бартлетта, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.
Было также показано, что главная цель применения окон данных — уменьшение эффектов смещения из-за боковых лепестков в спектрах с большим динамическим диапазоном амплитуд сигналов.