ЛЕКЦИЯ № 21. ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА И КОШИ
Вопрос 21.1. Теорема Лагранжа.
Теорема 21.1.(Теорема Лагранжа). Если непрерывна на отрезке
и дифференцируема внутри отрезка, то найдется хотя бы одна точка c такая, что
и
Эта формула носит название формулы конечных приращений Лагранжа (см. рис. 1).
Доказательство. Пусть , тогда функции
и
удовлетворяют условиям теоремы Коши. Применяя формулу Коши, получим
откуда следует формула Лагранжа
Конец доказательства.
Рис. 1. К доказательству теоремы Лагранжа.
Следствия из теоремы Лагранжа.
Следствие 21.1. Если для всех x из интервала
, то
на интервале
.
Доказтельство. Возьмем две произвольные точки из интервала
и применим формулу Лагранжа
. Так как
, то
и, следовательно,
. Таким образом,
.
Конец доказательство.
Следствие 21.2. Пусть на интервале
, тогда
монотонно возрастает (убывает) на интервале
.
Доказательство. Пусть на интервале
, тогда для любых точек
из этого интервала
, то есть
, если
. Аналогично рассматривается случай
.
Конец доказательства.
Следствие 21.3. Пусть на интервале
, тогда
монотонно не убывает (не возрастает) на этом интервале.
Доказательство аналогично доказательству следствия 21.2.
Следствие 21.4. Если на интервале
, то для непрерывной на отрезке
и дифференцируемой на
функции
справедливо неравенство
.
Доказательство.По формуле Лагранжа . Тогда
. Отсюда
.
Конец доказательства.
Вопрос 21.2. Правила Лопиталя - Бернулли.
Теорема 21.2. Пусть и
дифференцируемы на интервале
и являются бесконечно малыми функциями в окрестности точки a. Если существует (конечный или бесконечный) предел
, то существует и предел
, причем оба предела равны.
Доказатедьство. Так как и
бесконечно малые функции, то
и
. Переопределим функции в точке x=a, положив
. Возьмем любую сходящуюся к a последовательность аргументов из отрезка [a,b]
. Применяя к отрезку
теорему Коши, получим
Так как , то последовательность
сходится к a. Поэтому получим
Отсюда следует доказываемая теорема.
Конец доказательства.
Замечание. Теорема с соответствующими изменениями справедлива при .
Пример 21.1. .
Конец примера.
Теорема 21.3. Пусть и
дифференцируемы на интервале
и являются бесконечно большими функциями в окрестности точки a. Если существует (конечный или бесконечный) предел
, то существует и предел
, причем оба предела равны.
Замечание. Теорема с соответствующими изменениями справедлива при .
Пример 21.2.
Конец примера.
Замечание. Если для и
выполняются условия одной из теорем, то правила Лопиталя-Бернулли можно применять дважды и более число раз
Пример 21.3.
Конец примера.