Выборочные характеристики вариационных рядов
Определение. Совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин называется выборкой, соответствующей распределению случайной величины
.
Определение. Пусть ‑ выборка из распределения с теоретической функцией распределения
,
‑ число элементов выборки, строго меньших x. Эмпирической функцией распределения (ЭФР) называется функция
. (7.1)
Пусть ‑ выборка из распределения случайной величины
, а
– реализация этой выборки, т.е. наблюдавшиеся значения.
Определение. Выборочным средним называется величина
. (7.2)
Если данные представлены в виде точечного или интервального вариационного ряда, то для вычисления используют формулу:
, (7.3)
где – количество групп в точечном или интервалов в интервальном вариационных рядах,
– частота, т.е. количество элементов выборки, принадлежащих
-той группе или
-тому интервалу,
– варианта для точечного ряда и середина
-того интервала для интервального ряда.
Определение.Выборочной дисперсией (смещенной) называется величина
. (7.4)
Она характеризует квадрат отклонения в среднем каждой величины выборки от выборочного среднего. Величина называется среднеквадратическим отклонением величин выборки от выборочного среднего.
Определение.Выборочной дисперсией (несмещенной) называется величина
. (7.5)
Очевидно, что смещенная и несмещенная выборочные дисперсии связаны формулой
. (7.6)
Если данные представлены в виде точечного или интервального вариационного ряда, то для вычисления используют формулу:
, (7.7)
или
, (7.8)
где – количество групп в точечном или интервалов в интервальном вариационных рядах,
– частота, т.е. количество элементов выборки, принадлежащих
-той группе или
-тому интервалу,
– варианта для точечного ряда и середина
-того интервала для интервального ряда.
Доверительное оценивание
Пусть выборка из распределения случайной величины
с теоретической функцией распределения
, где
‑ неизвестный параметр.
Определение. Доверительным интервалом надежности называется интервал
, который накрывает неизвестное значение параметра
с вероятностью, не меньшей
, т.е.
. (7.9)
Вероятность называется также доверительной вероятностью, ее значения обычно выбирают близкими к единице:
»0,9; 0,95; 0,99 и т.д.
Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)
Пусть – выборка из распределения
, где a – неизвестное математическое ожидание, а
‑ известная дисперсия.
Доверительный интервал для параметра имеет вид
, (7.10)
где – аргумент функции Лапласа
, при котором
. Значения
находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 1.