ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
1. а) 
.
б) 
.
в) 
.
2. а) 
.
б) 
.
в) 
, якщо 
.
Заміна змінної
→ 
→ 
→ 
→ 
→ 
→ 
→ 
, 
→ 
→ 
→ 
, 
→ 
, 
→ 
→ 
Інтегрування частинами
1) 
; 
; 
.
2) 
, 
; 
; 
.
3) Циклічні інтеграли
; 
; 
; 
.
Таблиця інтегралів
1. 
, 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА
Вираз вигляду 
, де 
і 
- дійсні числа, 
, називається комплексним числом (в алгебраїчній формі).
Комплексне число 
= 
називається комплексно-спряженим числом до комплексного числа 
.
Дії над комплексними числами. Нехай дано два комплексні числа: 
та 
. Тоді
1) 
;
2) 
;
3) 
= 
.
Для будь-якого комплексного числа 
маємо: 
.
Величина 
називається модулем комплексного числа. Кут 
, що визначений наступними рівностями
, 
, називається аргументом комплексного числа.
Будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі:
,
де 
.
Приклад. Дано комплексне число 
. Треба:
записати дане число в алгебраїчній та в тригонометричній формах.
Розв’язання Приведемо комплексне число 
до алгебраїчної форми: 
.
Для цього помножимо чисельник та знаменник дроби на число 
, комплексно-спряжене до знаменника. Отримаємо:
.
Це й є алгебраїчна формакомплексногочисла , де 
.
Приведемо комплексне число 
до тригонометричного виду: 
, де 
- модуль комплексного числа , 
- аргумент цього числа.
Знайдемо 
. Для знаходження 
маємо систему:
,
або 
,
і тоді 
. Звідси, тригонометрична форма комплексного числа 
має вигляд: 
.
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1
Тема Матриці. Визначники. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Елементи векторної алгебри. Аналітична геометрія на площині. Аналітична геометрія у просторі. Функції. Обчислення границь. Диференційованість функцій. Невизначений інтеграл. Комплексні числа
Завдання до контрольної роботи № 1
1. Завдання. Розв’язати систему рівнянь методом Крамера.
1. 
6. 
2. 
7. 
3. 
8. 
4. 
9. 
5. 
10. 
2. Задача. Задано координати вершини піраміди. Знайти її об’єм.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
3. Задача. Задано координати вершин трикутника АВС.
Знайти:
1. Рівняння медіани ВК.
2. Довжину медіани ВК.
3. Рівняння прямої, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.
4. Рівняння висоти АР.
5. Довжину висоти АР.
6. Точку перетину медіани ВК та висоти АР.
7. Кут КВС.
8. Площу трикутника АВС.
| Варіант | 
| 
| 
|
| (-4; 2) | (1; 5) | (-1; 5) | |
| (4; 1) | (2; 3) | (1; -2) | |
| (-6; 1) | (3; 7) | (-2; 5) | |
| (-1; 6) | (3; 3) | (8; 0) | |
| (1; -1) | (2; 5) | (4; -1) | |
| (4; -3) | (-1; 5) | (5; -1) | |
| (3; 0) | (1; 6) | (7; -2) | |
| (0; 2) | (-1; 6) | (-4; -2) | |
| (2; 1) | (3; -1) | (9; -1) | |
| (-1; 2) | (1; 8) | (4; 4) |
4. Задача. Побудувати лінію. Знайти довжини осей, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис (для еліпса), рівняння асимптот (для гіперболи).
| Варіант | Рівняння лінії | Варіант | Рівняння лінії |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
5. Задача. Знайти координати центра і радіус кола. Побудувати коло.
| Варіант | Рівняння кола | Варіант | Рівняння кола |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
6.Завдання.Знайти границі функцій, не користуючись правилами Лопіталя.
1. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
2. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
;
3. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
4. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
5. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
6. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
7. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
8. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
9. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
10. а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
7. Завдання. Знайти похідні 
даних функцій.
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
8. Завдання.Записати рівняння дотичної та нормалі до лінії, що задана рівнянням y = f(x) в точці х0.
1. 
, 
; 6. 
, ;
2. 
, ; 7. , 
;
3. 
, ; 8. 
, ;
4. 
, 
; 9. 
, ;
5. , ; 10. , .
9. Завдання. Знайти екстремуми функції:
1. 
; 6. 
;
2. 
; 7. 
;
3. 
; 8. 
;
4. 
; 9. 
;
5. ; 10. .
10. Завдання. Знайти невизначені інтеграли:
1. а) 
; 6. а) 
;
б) 
; б) 
;
в) 
; в) 
;
2. а) 
; 7. а) 
;
б) 
; б) 
;
в) 
; в) 
;
3. а) 
; 8. а) 
;
б) 
; б) 
;
в) 
; в) 
;
4. а) 
; 9. а) 
;
б) 
; б) 
;
в) 
; в) 
;
5. а) 
; 10. а) 
;
б) 
; б) 
;
в) 
; в) 
;
11. Завдання. Представити комплексне число в алгебраїчній та тригонометричній формі:
1. 
; 6. 
;
2. 
; 7. 
;
3. 
; 8. 
;
4. 
; 9. ;
5. ; 10. .
2. ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ “ВИЩА МАТЕМАТИКА”
(2 семестр)