Теорема умножения вероятностей для зависимых событий
Где - условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.
Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть события независимые, причем
Вероятность появления события А, состоящее в том, что появится хотя бы одно событие :
Формула полной вероятности
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность появления события А:
Данная формула называется формулой полной вероятности
Формула Байеса (Бейеса)
Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно:
. Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление события А. Вероятность того, что появилась i-ая гипотеза, при условии того, что произошло событие А
, где вероятность события А находится с помощью формулы полной вероятности
Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).
4)
Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона | ![]() | ![]() | ![]() |
Пусть А – случайное событие, вероятности появления и непоявления
Которого для некоторого испытания известны:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Другой приближенной формулой для подсчета вероятностей , применяемой при больших N, является Формула Пуассона (формула редких событий):
, где
(6.6)
Она применяется, когда N Велико (условно N 50), а Р мало (0<Р<0,1), и когда Npq<10. То есть когда не оправдано ни применение формулы Бернулли, ни применение локальной формулы Лапласа. При этих условиях приближенная формула Пуассона, как и локальная формула Лапласа, обеспечивает определение искомой вероятности
С погрешностью в пределах одного процента.
Кстати, так как вероятность события А Мала (0<Р<0,1), то при повторении испытаний событие А наступает редко. Поэтому формула Пуассона и называется формулой редких событий. Вывод этой формулы опустим.
Пример 3. Производится 50 повторных испытаний, причем вероятность появления некоторого события А В каждом из них равна 0,98. Определить вероятность того, что событие А наступит во всех 50 испытаниях.
Решение. В данной задаче
P(A)=P=0,98; P(Ā)=Q=0,02; N=50; K=50;
Если применить формулу Бернулли, то получим результат, который очевиден и без формулы Бернулли:
Попробуем избежать громоздкой процедуры возведения числа 0,98 в 50-ую степень (её, впрочем, можно и избежать, если использовать логарифмы). То есть заменим формулу Бернулли на локальную формулу Лапласа или Пуассона.
Так как Npq=50·0,98·0,02=0,98<10, то локальную формулу Лапласа применять нельзя - мы получим слишком грубый (неточный) результат. Но и формулу Пуассона (формулу редких событий) мы тоже применить не можем, так как вероятность Р не мала, а наоборот, велика. Но зато мала вероятность Q непоявления этого события. В связи с этим переформулируем задачу: найдем вероятность того, что событие
появится 0 раз (ни разу). Эта вероятность, очевидно, совпадает с искомой вероятностью
Того, что событие А появится во всех 50 испытаниях. Тогда в этой постановке получаем:
P(Ā)=P=0,02; P(A)=Q=0,98; N=50; K=0; ?
Применяя формулу Пуассона (теперь ее применять можно), получим:
≈
= |λ=Np=50·0,02=1| =
=
≈
≈ 0,37.
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если
, то для отыскания вероятности
надо вычислить значение выражения
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в
испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
Теорема 3.1. Если вероятность появления события
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность
того, что событие
появится в
испытаниях ровно
раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше
) значению функции
при .
Существуют таблицы, которые содержат значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента
. Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция
четна, т. е.
.
Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в
испытаниях ровно
раз,
где
.
Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события
в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:
Вычислим определяемое данными задачи значение :
По таблице прил, 1 находим . Искомая вероятность
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):