Измерений (косвенные измерения)
Условие задания
При многократных измерениях независимых величин X и Y получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления Z = f (X, Y), (вид функции Z и характер величин X, Y, Z представлены в таблице 3).
Указания по выполнению
1. Значения X и Y студент выбирает соответственно по предпоследней и последней цифрам шифра: например, шифру 96836 соответствуют значения X, представленные в строке 3, и значения Y, представленные в столбце 6 таблицы 2.
2. Вид функции Z студент выбирает по последней цифре шифра, например, шифру 96836 соответствует функция Z, представленная в строке 6 таблицы 3.
3. При определении Z следует предварительно выразить значения величин X и Y в единицах системы СИ.
Порядок расчетa
Обработку экспериментальных данных при функциональном преобразовании результатов измерений целесообразно осуществлять по алгоритму [1, с. 144 – 166]. При этом необходимо учитывать, что
n = 12, следовательно, порядок расчетов и их содержание определяются условием 10...15 < n < 40...50.
1. Обработать результаты измерений величин X и Y отдельно по алгоритму, изложенному в пп. 1-3 задания 2, при этом:
– определить оценки результатов измерений X, У и средних квадратических отклонений Sx, Sy;
– обнаружить и исключить ошибки;
– проверить гипотезу о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
2. Определить оценку среднего значения функции:
.
3. Определить поправку:
.
Таблица 3 – Исходные данные
Последняя цифра шифра | Z=f (X,Y) | Характер и единицы величин | ||
X | Y | Z | ||
Z=X/Y | напряжение, мВ | сила тока, мкА | сопротивление | |
Z=X2Y | сила тока, мкА | сопротивление, Ом | мощность | |
Z=2X/Y2 | перемещение, м | время, мс | ускорение | |
Z=2m/X∙Y | индуктивность, мкГн | емкость, мкФ | период колебаний | |
Z=3X/4p∙Y3 | масса, мкг | радиус сферы, мкм | плотность материала | |
Z=X∙Y2/2 | индуктивность, мкГн | сила тока, мА | энергия магнитного поля | |
Z=0,5X2/Y | заряд, пКл | емкость, пФ | энергия конденсатора | |
Z=X∙Y/(X+Y) | сопротивление, Ом | сопротивление, Ом | сопротивление | |
Z=X/(Y+10) | ЭДС, мВ | сопротивление, Ом | сила тока | |
![]() | масса, г | жесткость, Н/м | период колебаний |
4. Определить оценку стандартного отклонения функции
,
где nx, ny – числа оставшихся результатов измерений соответственно X и Y после исключения ошибок.
5. Определить доверительный интервал для функции
ЕZ = t×S.
Если законы распределения вероятности результатов измерения X и Y признаны нормальными, то t можно определить для принятой доверительной вероятности Р из таблиц для распределения Стьюдента (таблица 1.1.2.8 [2] или таблица Д.1). При этом число степеней свободы m определяется из выражения
.
Если гипотеза о нормальности распределения результатов измерения X или (и) Y отвергается, то t целесообразно определить из неравенства Чебышева:
.
Задание 5. Обработка экспериментальных данных
При изучении зависимостей
Условие задания
При многократных совместных измерениях величин X и Y получено по 20 (n) пар результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 4. Определить уравнение регрессии Y по X: Y = f (X).
Указания по выполнению
1. Серии экспериментальных данных студент выбирает из таблицы 4 по предпоследней и последней цифрам шифра. Например, шиф-
ру 96836 соответствуют серии, включающие все результаты измерений X (числитель) и Y (знаменатель), которые представлены в строке 3 и столбце 6.
2. Считать, что результаты измерений не содержат ошибок.
Порядок расчета
Обработку экспериментальных данных при изучении зависимостей целесообразно осуществлять по алгоритмам [4, с. 99-109].
1. В осях координат X и Y построить n экспериментальных точек с координатами Xi ,Yi, i Î (1…20) и по характеру расположения точек принять гипотезу о виде уравнения регрессии Y на X.
Таблица 4 – Исходные данные
Предпоследняя цифра шифра | Последняя цифра шифра | |||||||||
В качестве уравнения регрессии целесообразно использовать полином степени m:
Y = А + В∙Х + С∙Х2 + ... + К∙Хm.
В первом приближении для решения данной задачи рекомендуется принять m = 1, т.е.
Y = А + В∙Х.
2. Определить параметры уравнения регрессии по методу наименьших квадратов. Для этого необходимо:
– составить систему уравнений по числу рассчитываемых параметров:
;
;
; … ;
,
где .
Например, для линейного уравнения регрессии система уравнений имеет вид:
– решить систему уравнений и определить неизвестные параметры. Например, для линейного уравнения регрессии решение имеет вид:
.
3. Проверить правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует применить непараметрические критерии серий и инверсий:
– рассчитать отклонения экспериментальных значений Yi от соответствующих значений Ypi, рассчитанных для того же аргумента Xi по полученному уравнению регрессии:
DYi = Yi – Ypi;
– построить в осях координат X, DY полученные значения DYi для соответствующих Xi;
– записать последовательность значений DYj по мере возрастания Xj, Xj Î [l,n];
– рассчитать число серий N в полученной последовательности DYj (под серией в данном случае понимают последовательность отклонений одного знака, перед и после которой следуют отклонения противоположного знака или нет вообще никаких отклонений);
– задавшись доверительной вероятностью Р (уровень значимости a = 1 – Р) для n = 20 определить по соответствующей таблице (таблица А.6 [4] или таблица Ж.1) допустимые границы N1-0,5a и N0,5a;
– рассчитать число инверсий А в полученной последовательности DYj (под инверсией понимается событие, заключающееся в том, что DYj > DYjk при k > j):
,
где Aj – это число инверсий j-гo члена последовательности, т.е. число членов последовательности, которые, будучи расположенными в последовательности после j-го члена, имеют значение меньшее, чем DYj;
– задавшись доверительной вероятностью Р (уровень значимости a = 1 – Р) для n = 20 определить по соответствующей таблице (таблица А.7 [4] или таблица И.1) допустимые границы A1-0,5a и A0,5a;
– сравнить А с A1-0,5a и A0,5a.
Если выполняются неравенства
N1-0,5a < N £ N0,5a;
A1-0,5a < A £ A0,5a,
то с выбранной доверительной вероятностью Р можно считать, что отклонения экспериментальных значений Yi, от соответствующих значений Yрi найденного уравнения регрессии являются случайными, не содержат аддитивного, мультипликативного или колебатель-
ного трендов, т.е. рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально исследуемую зависимость между величинами X и Y.
Если хотя бы одно из указанных выше неравенств не выполняется, то следует пересмотреть выбор вида уравнения регрессии. В частности, можно увеличить степень полинома m на единицу и повторить вычисления по описанному выше алгоритму. Например, для полинома второй степени:
Y = А + В∙Х + С∙Х2.
С целью определения параметров уравнения регрессии в данном случае необходимо решить систему уравнений: