Співставлення поступального та обертального рухів
Метою даного теоретичного вступу було встановлення досить глибокої аналогії між поступальним та обертальним рухами. В табл.1 співставленні основні величини і рівняння поступального руху і обертання навколо нерухомої осі.
Таблиця 2.1
Поступальний рух | Обертальний рух |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Із цього співставлення випливає, що відповідають один одному швидкість ікутова швидкість
, прискорення
і кутове прискорення
. Роль маси т відіграємомент інерції
, роль імпульсу
– момент імпульсу
, сили
– момент сили
. Отже, основні рівняння поступального і обертального рухів співпадають по формі.
Опис лабораторної установки
Маятник Обербека складається з чотирьох стержнів, закріплених на втулці під прямим кутом один до одного (рис. 2.10).
Втулка з шківом радіуса насаджена на вісь в підшипниках так, що вся система може обертатися навколо горизонтальної осі. Момент інерції приладу можна змінювати, пересуваючи тягарці
вздовж стержнів. На шків намотана тонка нитка. Прив'язана до неї платформа т служить для розміщення вантажів.
Основний закон динаміки для обертальної системи має вигляд:
,
де М - сумарний момент сил, діючий на обертальну систему; - кутове прискорення системи;
- момент інерції обертальної системи.
Рис.2.10
Обертаючий момент створюється силою натягу нитки Т:
,
де - радіус шківа. Силу Т можна знайти з рівняння руху платформи з вантажами:
.
Тут т - маса платформи з вантажами; а - прискорення платформи; - прискорення вільного падіння.
Звідси знаходимо :
.
В підшипниках, які забезпечують обертання, діє момент тертя Мтр , прикладений також до осі обертання маятника і направлений протилежно обертальному моменту Мн.. Тому, в загальному випадку,
М=Мн-Мтр.
Однак момент тертя Мтр малий в порівнянні з моментом сили натягу нитки Мн (у лабораторній установці використовуються підшипники, у яких Мтр =0,01Мн). Отже, при виведенні розрахункових формул дією цього моменту будемо нехтувати, вважаючи, що М =Мн.
Вимірюючи час , протягом якого навантажена платформа із стану спокою спускається на відстань
, можна знайти її прискорення
.
Нитка тонка і змотується зі шківа маятника без тертя і ковзання, тому лінійне прискорення точок його поверхні також дорівнює а. Кутове прискорення шківа пов'язане з лінійним прискоренням співвідношенням , звідки
.
Основний закон динаміки для даної системи можна записати у вигляді:
.
Підставимо отримані значення ,
,
в це рівняння і розв’яжемо його відносно
. Дістанемо вираз для моменту інерції системи:
![]() | (3) |
Для визначення моменту інерції треба знайти дослідним шляхом усі величини, що стоять у правій частині отриманої формули (прискорення вільного падіння
відоме). Тобто необхідно знайти масу платформи з вантажами т, яка приводить систему в рух, радіус шківа
, час
опускання маси т від верхньої точки до нижньої, виміряти шлях
, який платформа проходить при опусканні.
Момент інерції всієї системи складається з моменту інерції - системи без тягарців
і моменту інерції чотирьох тягарців
, які закріплені на стержнях.
В першому наближенні тягарці можна прийняти за точкові, тоді момент інерції одного з них можна визначити за формулою:
,
де -маса тягарця;
- віддаль від осі обертання до центра мас тягарця.
Тоді момент інерції всієї системи можна обчислити за формулою:
![]() | (4) |
В результаті експерименту, використовуючи формулу (2.1), можна окремо визначити момент інерції всієї системи, що обертається з масами
. Потім, знявши маси, аналогічно визначимо момент інерції
, тобто системи без мас
. З виразу (4) знайдемо, що
.
Звідки . Таким чином, момент інерції одного тягарця
можна визначити експериментально за формулою:
.
Тут індекс е означає, що значення отримано експериментально.
Завдання роботи
1. Прийнявши тягарець за матеріальну точку, визначити експериментально момент інерції тягарця і порівняти його з розрахованим за формулою .
2. Зробити експериментальну перевірку основного закону динаміки обертального руху .
Виконання роботи
Прилади і матеріали: маятник Обербека; електричні терези ВЛТК-500; лінійка, секундомір, штангенциркуль, набір тягарців, платформа с тягарцями.
1. Визначення моменту інерції тягарця
1.1. Визначити окремо маси кожного з чотирьох циліндричних тягарців , за допомогою технічних терезів (в лабораторії використовуються терези ВЛТК-500). Знайти середнє значення однієї маси
і записати визначене середнє значення до табл. 2.2. Закріпити тягарці
на стержнях на однаковій віддалі
від осі обертання маятника. Треба досягти, щоб маятник знаходився в байдужій рівновазі.
1.2. Визначити відстань R від осі обертання маятника до центрів мас тягарців. Для цього виміряти штангенциркулем довжину тягарця , діаметр
втулки, до якої кріпляться стержні, і відстань
від переднього торця тягарця до поверхні втулки (рис. 2.11). Тоді
.
Виміри зробити для кожного тягарця окремо, знайти середнє значення і записані його до таблиці 2.2.
1.3. Визначити масу т платформи з вантажами.
1.4. Виміряти штангенциркулем радіус шківа , на який намотана нитка.
1.5. Намотати нитку на шків. Платформа з тягарцями буде знаходитися в верхньому положенні. За допомогою лінійки виміряти відстань, з якої буде опускатися платформа.
1.6. Надавши можливості платформі опускатися, по секундоміру визначити час падіння . Секундомір вмикають у момент початку руху платформи і зупиняють, коли платформа досягає найнижчого положення. Визначити відстань між найнижчим і верхнім положенням платформи
(рис.2.10).
![]() |
Рис. 2.11
1.7. Дослідження повторити три рази. Дані занести до таблиці 2.2 і визначити середні значення.
1.8. За формулою визначити момент інерції
системи з тягарцями.
1.9. Зняти тягарці і вище описаним методом визначити момент інерції
системи без тягарців.
1.10. Визначити експериментальне значення моменту інерції одного тягарця за формулою .
1.11. Визначити теоретичне значення моменту інерції одного тягарця за формулою .
1.12. Порівняти значення і
. Для цього визначити відносну похибку вимірювання:
.