Знаково-символические действия

Моделирование как универсальное учебное действие.

На ступени предшкольного образования должны быть сформированы следующие универсальные учебные действия:

- кодирование/замещение (использование знаков и символов как условных заместителей реальных объектов и предметов);

- декодирование/ считывание информации;

- умение использовать наглядные модели (схемы, чертежи, планы), отражающие пространственное расположение предметов или отношений между предметами или их частями для решения задач.

На ступени начального образования основным показателем развития знаково-символических универсальных учебных действий становится овладение моделированием.

Обучение по действующим программам любых учебных предметов предполагает применение разных знаково-символических средств (цифры, буквы, схемы и др.), которые, как правило, не выступают специальным объектом усвоения с точки зрения характеристик их как знаковых систем. Использование разных знаково-символических средств для выражения одного и того же содержания выступает способом отделения содержания от формы, что всегда рассматривалось в педагогике и психологии в качестве существенного показателя понимания учащимися задачи.

Из разных видов деятельности со знаково-символическими средствами наибольшее применение в обучении имеет моделирование. Более того, в концепции развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова оно включено одним из действий учебной деятельности, которое должно быть сформировано уже к концу начальной школы. Все это ставит задачу анализа использования моделирования к школьному обучению.

Анализ философской литературы показал, что в моделировании выделяется ряд этапов: выбор (построение) модели, работа с моделью и переход к реальности. Аналогичные этапы (компоненты) входят в состав учебного моделирования:

1) предварительный анализ текста задачи;

2) перевод текста на знаково-символический язык, который может осуществляться вещественными или графическими средствами;

3) построение модели;

4) работа с моделью;

5) соотнесение результатов, полученных на модели, с реальностью (с текстами).

Каждый компонент деятельности моделирования имеет свое содержание со своим составом операций и средствами, которые согласно психологическим исследованиям должны стать самостоятельным предметом усвоения.

Предварительный анализ включает ряд приемов, описанных в литературе, относящейся к разным областям знания. Это прежде всего проведение семантического анализа текста. Он предполагает работу над отдельными словами, терминами, перефразирование, переформулирование текста. Другим приемом анализа текста, ведущего к пониманию его смысла, являются постановка вопросов, определенный способ чтения текста. В литературе выделена система вопросов, ведущих к осмыслению текста. Одним из приемов анализа, ведущих к пониманию текста, является выделение «смысловых опорных пунктов» текста, которые способствуют выделению структуры текста.

В общей деятельности моделирования действие анализа является подготовительным этапом для осуществления действия перевода и построения модели.

Перевод текста на знаково-символический язык делает обозримыми связи и отношения, скрытые в тексте, и способствует тем самым поиску и нахождению решения. Эффективность перевода текста определяется видом используемых знаково-символических средств.

Поскольку перевод текста на знаково-символический язык нужен не сам по себе, а для получения новой информации, то в процессе перевода должны учитываться требования, предъявляемые к выбору и характеристикам знаково-символических средств.

В литературе выделяются разные требования к знаково-символическим средствам представления информации. Применительно к учебному процессу в школе в качестве наиболее значимых можно указать такие как:

- абстрактность,

- лаконичность,

- обобщение и унификация,

- четкое выделение элементов, несущих основную смысловую нагрузку,

- автономность,

- структурность,

- последовательность представления элементов.

По абстрактности различают следующие знаково-символические средства: предметно-конкретные, упрощенно-графические изображения обозначаемых объектов (пиктограммы, иконические знаки); условно-образные (геометрические фигуры и др.); условные знаки, индексы (буквенно-цифровая символика).

Лаконичным является знак, форма которого не имеет лишних элементов, а содержит только те из них, которые являются необходимыми для сообщения информации.

Обобщенность и унификация знаково-символических средств достигается через единообразия форм элементов, выражающих одинаковый смысл (объекты, процессы и др.), характер элементов формы, масштабное соответствие и т.д.

Автономность означает, что части текста, которые передают самостоятельное сообщение, необходимо представлять разными знаково-символическими средствами и отделять друг от друга, что облегчает восприятие информации.

Под структурностью понимается материализация взаимосвязей знаков, фиксирующих все компоненты задачи. При этом отдельные компоненты могут иметь свою подструктуру.

Последовательное представление знаково-символический средств определяется логикой отношений между компонентами задачи.

Работа с моделью. Вынесение во внешний план элементов задачи и их отношений, настолько обнажает связи и зависимости между величинами в задаче, что иногда перевод сразу ведет к открытию решения. Однако во многих задачах перевод текста на язык графики является только началом анализа, для решения задачи требуется дальнейшая работа со схемами. Именно здесь возникает необходимость формирования у учащихся умения работать с моделями, преобразовывать их. При этом необходимо иметь в виду, что уровень графической подготовки при построении модели и работе с ней (согласно психологическим исследованиям) определяется главным образом не степенью владения им техникой выполнения графического изображения, а тем, насколько он готов к мысленным преобразованиям образно-знаковых моделей, насколько подвижно его образное мышление.

Работа с моделью может вестись в двух направлениях: а) достраивание схемы, исходя из логического выведения, расшифровки данных задачи; б) видоизменение схемы, ее переконструирование.

Соотнесение результатов работы на модели с текстом. Моделирование осуществляется для того, чтобы получить новые данные о реальности или ее описании, поэтому необходимым моментом деятельности моделирования является соотнесение результатов с текстом.

Из практики известно, что учащиеся после решения задачи так или иначе проверяют свои ответы для доказательства того, что полученные ответы удовлетворяют условиям и требованиям задачи. Однако это соотнесение результатов с текстом задачи не есть только проверка ответа задачи, соотнесение его с требованиями. Принципиально важным при проверке ответов решения задачи для деятельности моделирования является не столько выявление правильности (точности) ответа, сколько соотнесение данных, полученных на модели с ее описанием в тексте.

Поскольку перевод текста на знаково-символический язык, приводящий к построению модели, является важным этапом решения задач и вместе с тем вызывающий наибольшие трудности у учащихся, рассмотрим его более подробно.

Построение моделей может осуществляться по-разному:

1)материализация структуры текста задачи с помощью знаково-символических средств всех составляющих текста в соответствии с последовательностью изложения информации в задаче. Завершающим построение модели при этом способе будет символическое представление вопроса задачи. Созданная модель текста дает возможность выделить отношение между компонентами задачи, на основе которых находятся действия, приводящие к ответу на вопрос.

2) материализация логической схемы анализа текста задачи, начиная с символического представления вопроса и всех данных (известных и неизвестных), необходимых для ответа на него. В такой модели фиксируется последовательность действий по решению задачи.

При первом варианте моделирования текста задачи могут быть использованы самые разные знаково-символические средства (отрезки, иконические знаки и др.). При этом каждое из данных задачи представляется в виде отдельных конкретных символов.

При втором варианте моделирования наиболее удобным являются графы. Последовательность операций решения в виде графа вытекает из более общих схем, в которых отражаются основные отношения между данными задачи. Поскольку такого типа модели представляют конечный результат ориентировки в тексте задачи, для их построения необходимо владение умением осуществлять полный анализ текста, выделять все компоненты (объекты, их величины, отношение между ними и др.).

При создании различного типа моделей очень важно выделить, какая информация должна быть включена в модель, какие средства (символы, знаки) будут употребляться для каждой выделенной составляющей текста, какие из них должны иметь одинаковую символику, а какие – различную. В процессе построения модели и работе с ней проводится анализ текста и перевод на математический язык: выделяются известные, неизвестные объекты, величины, отношения между ними, основные и промежуточные вопросы.

При обучении математике используются различные способы построения моделей с опорой на определенный набор знаково-символических средств.

Один из подходов к моделированию при решении задач предложен Ж. Верньё. Для анализа текста задачи он использует следующие две категории: состояние объекта и трансформации.

Под состояниями объекта понимается описание в тексте задачи тех ситуаций, в которых действует объект. В соответствии с этим различают начальное, конечное, промежуточное состояния (или ситуации). Трансформации – это те изменения в объектах (или с объектами), которые происходят при переходе от одного состояния к другому. Трансформация приводит к новому типу отношений между состояниями объекта.

В схемах, предложенных Ж. Верньё, для анализа и решения задач данные обозначаются в виде геометрических фигур: объекты – квадраты; отношения между состояниями объекта – линии, стрелки, на которых указывают направленность отношений; отношения между величинами состояния объекта – круги. Заданные числовые значения величин объекта и отношений между величинами указываются соответствующими числами, знак при которых фиксирует характер отношения величин (разностное, кратное, равенство, целое-часть).

Приведем пример моделей к одному и тому ж сюжету задач («выигрыш – проигрыш») в зависимости от различных отношений между величинами состояния объекта [таблица 7]. В этих задачах объектом являются шары. Так, в задаче №1: «Было 6 шаров, из них потеряно 4 шара. Сколько шаров осталось?» При построении модели объект – шары изображаются двумя квадратами, фиксирующими начальное состояние объекта, числовое значение величины которого известно – шесть, и конечное состояние, числовое значение которого надо определить. Круг с числом внутри обозначает характер и числовое значение величин отношений между состояниями объектов – разностное сравнение («4 шара потеряно»). Стрелка указывает направленность отношения между начальным и конечным состояниями объекта.

Таблица 7.

Задача

Модель

Интерпретация модели

1. Было 6 шаров, из них потеряно 4 шара. Сколько шаров осталось?

- 4

Известно: начальное состояние объекта; направленность отношения между начальным и конечным состоянием объекта; числовое значение величины отношения между состояниями объекта. Необходимо определить числовое значение величины конечного состояния объекта.

2. Было 4 шара, стало 6 шаров. Что произошло?

4 6

Известно: начальное состояние объекта; направленность отношения между ними. Необходимо определить характер и числовое значение величины отношений между состояниями объектов.

3. Имеется 6 шаров после того, как выиграно 4 шара. Сколько шаров было до выигрыша?

Известно: значение величины конечного состояния объекта, направленность отношений между состояниями объекта и числовое значение величины отношений между состояниями объектов. Необходимо определить числовое значение величины начального состояния объекта.

4. Было 6 шаров, стало 4 шара. Что произошло?

6 4

Известно: значение величины начального и конечного состояния объекта, направленность отношений между состояниями объекта. Необходимо определить числовое значение величины отношения между состояниями объектов.

5. В первой партии было выиграно 6 шаров, во второй партии было проиграно 4 шара. Что произошло в результате игры?

+6 -4

Известно: направленность отношений между состояниями объекта; числовое значение величин отношений между состояниями объекта (начального, промежуточного и конечного). Необходимо определить значение величины отношения между начальным и конечным состояниями объекта.

6. В первой партии было проиграно 6 шаров, во второй партии было выиграно 4 шара. Что произошло в результате игры?

-6 +4

Известно: направленность отношений между состояниями объекта; числовое значение величин отношений между состояниями объекта. Необходимо определить значение величины отношения между начальным и конечным состояниями объекта.

7. В первой партии было проиграно 4 шара. После того, когда была сыграна вторая партия, всего было потеряно 6 шаров. Что произошло во второй партии?

-6 +4

8. В первой партии было проиграно 6 шаров. После того, когда была сыграна вторая партия, всего было потеряно 4 шара. Что произошло во второй партии?

-6

-4

Известно: направленность отношений между состояниями объекта; значение величин отношений между начальным и промежуточным, между промежуточным и конечным состоянием объекта. Необходимо определить отношения между промежуточным и конечным состояниями объекта.

Необходимо обратить внимание на то, что при построении моделей к задачам №5 - №8 значение величины начального объекта не указывается ни в тексте задачи, ни на модели: оно не является искомым и его конкретная величина не имеет значения для решения задачи. Смысл анализа и решения этих задач заключается в определении характера и количественного выражения отношений между состояниями объекта («выигрыш – проигрыш»).

Таким образом, в моделях, создаваемых для анализа текста и решения задач Ж. Верньё, отображается, прежде всего, структура задачи, в которой фиксируются состояния объекта, характер и величина отношений между состояниями. Такого рода модели позволяют материализовать схему анализа содержания задачи, ее математический смысл, установить на основе структуры, что является известным, а что необходимо определить и выстроить последовательность действий для решения задачи.

Использование тех же самых знаково-символических средств (круг, вектор и др.) может приводить к созданию моделей, представляющих не только структурные компоненты задачи и их отношения, но и наглядно фиксировать последовательность действий по решению задачи, в отличие от описанных выше моделей Ж. Верньё, где действия и их последовательность выводятся из схемы отношений. Это достигается тем, что в язык символов вводятся специальные знаки известных и неизвестных компонентов задачи. Так, известные компоненты обозначаются сплошной линией, а неизвестные – пунктирной.

Один из таких наборов символов может быть представлен в следующем виде:

- объект

- искомое значение величины объекта

а, в – значения величин объекта

- дано значение величины объекта

- не дано или задано опосредованно значение величины объекта

- вид арифметического действия:

1 - сложение

2 - вычитание

3 - умножение

4 - деление

В зависимости от отношений между величинами объектов модели могут иметь разный вид.

Покажем это на примере тек называемых косвенных или инвертированных задач, которые, как указывается в методической литературе, являются сложными для решения. Специфика таких задач состоит в том, что при их решении используется арифметическое действие, обратное тому, которое соответствует «опорным» словами текста задачи. Типичной является задача: «На дереве сидели птички. Три птички улетело, осталось 5. Сколько птичек сидело на дереве?» Ошибкой многих учащихся начальной школы при решении таких задач является то, что они ориентируются на опорное слово «улетели» и поэтому используют вычитание (три из пяти), а не отношение между данными, которое привело бы их к правильному решению. Эти трудности могут быть сняты через построение моделей с использованием указанной выше символики. Например, модель может иметь следующий вид:

П 3 улетело

5 осталось

одно и то же значение величины

В данной задаче объект один – птицы. Количество сидящих на дереве птиц (значение искомой величины) – неизвестно. Оно представлено на модели двумя пунктирными кружками: первый – обозначает объект (искомое значение величины объекта), второй – результат действия (тоже искомое значение величины объекта). Задача решается с помощью действия сложения, которое выбирается на основе восстановления сюжетной ситуации, описанной в тексте.

Рассмотренной задаче может соответствовать другая модель:

П было х

2 5 осталось

3 улетело

одно и то же значение величины

В соответствии с этой моделью неизвестное будет находиться путем решения соответствующего условию задачи уравнения х – 3 = 5.

Выявление последовательности действий, необходимых для получения ответа на вопрос задачи, легче осуществлять с помощью рассматриваемых моделей. Например, для задачи «Сыну 15 лет. Отец на 25 лет старше сына. Мать на 5 лет младше отца. Сколько лет им вместе?» модель будет выглядеть следующим образом:

I II III

Сын

15 лет Отец Мать всего

1 2 1

Отец Мать

на 25 лет больше

на 5 лет меньше

В данной задаче три объекта: сын, отец, мать. На схеме структура отношений между объектами и последовательность решения задачи представлена в виде трех блоков I, II, III. В первом блоке записаны данные о первых двух объектах: сын – 15, отец – на 25 лет старше. Пунктирные линии показывают, что возраст отца неизвестен, треугольник с цифрой 1 – способ его нахождения – сложение. Это будет первым действием: 15 + 25 = 40. Второй блок включает данные об определенном в результате первого действия возраста отца, заданном возрасте матери («на 5 лет моложе отца») и способе его нахождения – вычитание: 40 – 5 = 35 – второе действие. Третий блок, помимо результата второго действия (возраст матери), включает данные первых двух блоков – возраст сына и отца и способ нахождения ответа.

Рассмотренные знаково-символические средства позволяют создавать модель структуры задачи, включающей объекты, их характеризующие величины, соответствующие им числовые значения (данные и искомые) и фиксировать или выводить действия, необходимые для ответа на вопрос задачи.

Таким образом, при переводе текста задачи на язык математики могут быть использованы схемы (модели) различной степени сложности: от простых с минимальным числом объектов и отношений до сложных. Необходимость в таких схемах выступает отчетливо, когда последовательность выполнения действий по решению задачи расходится с явной структурой задачи или эта структура сложна и открывает многие и разные возможности решения.

Наряду с описанными выше в практике обучения широко используется табличный способ представления содержания задачи. Он чаще всего применяется для задач с разнородными величинами, когда часть из них являются переменными, связываемыми постоянной величиной. Это, как правило, задачи на «процессы».

При создании таблицы фактически регулируются те же этапы учебного моделирования, которые были указаны выше:

I. Анализ текста задачи:

1) определение вида процесса: движение, работа, купля-продажа;

2) выделение величины этого процесса и соответствующих им единиц измерения: движение – скорость, время путь; работа – общий объем, время выполнения, объем работы за определенное время; купля-продажа – цена, стоимость, количество.

II. Составление таблицы:

1) в столбце фиксируются значения величин; количество величин определяет количество столбцов;

2) в строках фиксируются участники (объекты) и этапы процесса; количество строк определяется числом участников и этапов процесса (например, первая покупка, вторая покупка; периоды работы и т.п.);

3) вычерчивание таблицы, в которой записывается название столбцов и строк;

4) заполнение таблицы. В соответствующие клетки таблицы вписываются известные данные (числовые значения величин), обозначаются неизвестные (х, ?).

III. Работа с таблицей.

На основе данных, представленных в таблице, выделяются функциональные отношения между величинами: прямая или обратная зависимость; между частными и общими значениями величины; изолированное или совместное действие участников: помогают друг другу или противодействуют; время включения в процесс: одновременно или в разное время.

Выявленные зависимости между величинами позволяют выстроить последовательность действий для решения задачи.

При обучении решению задач с помощью таблицы желательно вначале использовать расширенный ее вариант, где, кроме величин, их характеристик, единиц измерения, указываются вид процесса и обозначение участников (объектов).

В общем виде таблица может быть представлена следующим образом:

Процесс	Участники процесса	Величины
S	V	T
Единицы измерения

Покажем примеры вариантов составления таблиц на разные типы ситуаций.

Задача: «Два велосипедиста выехали из двух пунктов навстречу друг другу. Один велосипедист ехал 2 часа со скоростью 11 км/ч, а другой 3 часа со скоростью 9 км/ч. Чему равно расстояние между пунктами?»

В данной задаче:

1) процесс – движение,

2) количество участников (объекты) – два велосипедиста,

3) величины – путь, скорость, время,

4) единицы измерения.

На основании этих данных таблица будет иметь следующий вид:

Процесс	Участники процесса	Величины
S	V	t
Путь	скорость	время
Км	км/ч	час
Движение	I велосипедист	?
II велосипедист	? ?

Задача: «Для спортшколы купили мячи на 4250 рублей по 25 рублей за мяч и такое же количество прыгалок по 15 рублей за каждую. Сколько денег заплатили за все прыгалки?»

В данной задаче:

1) процесс – купля-продажа,

2) количество участников процесса (объекты) – два: мячи и прыгалки,

3) величины – общая стоимость, цена мяча, цена прыгалки, количество мячей и прыгалок (одинаковое),

4) единицы измерения – рубли, штуки.

Таблица будет иметь следующий вид:

Процесс	Участники процесса	Величины
S	V	t
стоимость	цена	кол-во
руб.	руб./шт.	штуки
Купля-продажа	I мячи		? одина-
II прыгалки		? ково

По мере овладения табличным способом анализа и решения задачи таблица будет упрощаться, сохраняя информацию о величинах, их значениях и единицах измерения; участники (объекты), независимо от вида процесса, обозначаются цифрами или буквами. Например, к задаче: «Для школы было закуплено одинаковое количество карандашей и ручек. Известно, что за карандаши уплатили 1600 рублей, при этом один карандаш стоит 16 рублей. За ручки уплатили 3200 рублей. Сколько стоит одна ручка?».

Может быть составлена следующая таблица:

	S (руб.)	V (руб./шт.)	T (шт.)
I			=
II		?

Специфика типов задач требует иногда специальных схем представления данных (пропорция: прямая, обратная) и другие виды отношений.

Умение строить учебные модели и работать с ними является одним из компонентов общего приема решения задач. Визуализация словесно заданного текста с помощью модели позволяет перевести сюжетный текст на математический язык и увидеть структуру математических отношений, скрытую в тексте. Использование одних и тех же знаково-символических средств при построении модели для задач с разными сюжетами и разных типов способствует формированию обобщенного способа анализа задачи, выделению составляющих ее компонентов и нахождению путей решения. В статье наибольше внимание было уделено переводу текста задачи на знаково-символический язык, так как перевод на другой язык (математический, графический) и декодирование уже готовых моделей вызывает наибольшие затруднения при обучении решению задач.