Передача координат с вершины знака на землю. Постановка задачи. Чертеж

 

11+12+13. Передача координат с вершины знака на землю. Вычисление координат и контроль решения задачи + Оценка точности.

рис.1

1. Пункт, к которому производится привязка, недоступен ни для линейных, ни для угловых измерений (обычно это шпиль какого-либо здания).

Необходимо определить координаты пункта Р(см. рис.1), из которого видны пункты обоснования: близко расположенный пункт Т1 и пункт Т2,последний может быть расположен вдалеке от пункта Р. Более надежный контроль решения задачи будет обеспечен в том случае, если, кроме пункта Т2будет виден еще пункт Т’2.

Расстояние РТ1=sможно определить как неприступное. Для этого на местности строят два треугольника АРТ1и ВРТ1.Стороны этих треугольников АР(b1) и ВР (b2) измеряют непосредственно; кроме этого, в каждом треугольнике измеряют по два угла α1, β1, α2, и β2.

Из треугольников АРТ1 и ВРТ1определяют длину РТ1=s по формуле (XV.1), где

(XV.2), а i= 1, 2. Из полученных значений берут среднее.

Для определения примычного угла λ1 на местности при точке Р измеряют угол γ1.Этот угол дает возможность определить сначала из треугольника РТ1Т2угол μ1, а затем и угол λ1.В треугольнике РТ1Т2дирекционный угол линии (Т1Т2)* и ее длину Т1Т2= L находят из решения обратной геодезической задачи по формулам:

Надежнее контроль обратной геодезической задачи выполнить по формуле:

так как, вычисляя tg (Т1Т2) по формуле (XV.3), можно допустить

ошибку в разности ординат (у2 — у1)или абсцисс (х2 — х1), и эта ошибка при контроле по формулам (XV.4) останется незамеченной, хотя Т1Т2и вычисляют дважды.

Зная величину L, из треугольника РТ1Т2находят sin μ1= s/L * sin γ1 (XV.6), а затем по таблицам — угол μ1.

Примычный угол λ1получают из того же треугольника как дополнение до 180°: (XV.7)

Дирекционный угол φ направления Т1Ропределяют как (XV.8)

Выбор знака перед λ1 в формуле (XV.8) производится с учетом расположения пунктов на схематическом чертеже, составление которого при решении задачи необходимо.

По полученным длине линии РТ1 и дирекционному углу ее (Т1Р)находят приращение координат, а затем координаты соответственно по формулам:

(XV.9) и (XV.10).

Заключительный контроль решения задачи состоит в вычислении дирекционного угла (РТ2) (XV.11) и вторичном получении угла (XV.12)

Если из пункта Рбудет виден пункт Т’2, его необходимо использовать для вторичного получения значения координат пункта Р, для чего следует на пункте Ризмерить угол γ2, а далее повторить решение задачи, начиная с получения tg (Т1Т’2)и L’ по формулам (XV.3) и (XV.4) и т.д. до конца.

Оценка точности при решении задачи состоит в получении средних квадратических ошибок вычисленных элементов: линии РТ1=sдирекционного угла (Т1Р)=φ и положения пункта Р.

Для проведения оценки точности необходимо иметь показатели точности измерения базисов (mb— при измерении светодальномером, μ и λ— при измерении инварной проволокой) и углов (mα, mβ, mγ).

Для получения msi возьмем функцию (XV.1), прологарифмируем ее, а затем дифференцированием найдем (XV.13), при этом учтем, что угол ε определяется по формуле (XV.2), следовательно,

Переходя от (XV.13) к средним квадратическим ошибкам и принимая mαi = mβi(углы измерены равноточно), найдем (XV.14)

Средняя квадратическая ошибка среднего значения линии scp будет (XV.15)

Величинами msiможно воспользоваться для подсчета предельного расхождения в значениях si,вычисленных из двух треугольников, так как

Тогда (XV.16)

Определим среднюю квадратическую ошибку дирекционного

угла φ1. Дифференцируя формулы (XV.8), получим (XV.17), где i= 1, 2.

Угол λi вычисляется по формуле (XV.7), следовательно, дифференцирование ее дает (XV.18).

В свою очередь величина μi, определяется выражением (XV.6). Несколько упростим его, имея в виду, что отношение s/L, как правило, равно 1/10. С учетом этого формулу (XV.6) можно написать sin μi = 1/10 sin γi.

Дифференцируя ее, получим откуда .

Можно считать, что отношение

cos γi/cos μi < 1.

Тогда

dμi ~ 1/10dγi.

Учитывая это соотношение, можно в формуле (XV. 18) dμi при оценке точности в расчет не принимать и принять

dλi ~ dγi, или с учетом (XV. 17) dφi ~ dγi.

Отсюда, переходя к средним квадратическим ошибкам, будем иметь mφi ~ mγi (XV.19).

Нетрудно установить, что строгая формула средней квадратической ошибки дирекционного угла будет иметь вид m2φi=(1 + tg μi*ctg γi)2 m2γi + ρ2 tg2 μi (msi/si)2 (XV.20)/

Средняя квадратическая ошибка среднего значения дирекционного угла φср в случае определения его по двум пунктам T2и Т’2 (cучетом (XV. 19)) будет равна M2φ=1/2 √2m2γ = 0,71mγ (XV.21), где mγ = mγ1 = mγ2.

Предельное расхождение между значениями ф, полученными по двум пунктам, определится выражением пред(φ1 — φ2) = 2√2m2γ= 2,8mγ .(XV.22)

Для получения средней квадратической ошибки положения пункта Рвоспользуемся рис. 2. Допустим, что под влиянием ошибок в длине линии dsи в дирекционном угле dφпункт Рсместился со своего верного положения на величину dp.Это смещение можно разложить на компоненты ds и u, где u=s*dφ/ρ, тогда dP2 = ds2 + u2 или dP2 = ds2 + s*dφ/ρ (XV.23).

Рис.2

Предположим, что определение пункта повторено достаточно большое число раз и что имеется nравенств вида (XV.23). Сложив эти равенства и разделив затем обе части суммарного равенства на число nполучим:

(XV.24), где Мφ и Ms— средние квадратические ошибки φср и scp.

Анализ формул показывает, что для обеспечения большей точности передачи координат с пункта Т1на пункт Рнеобходимо:

а) строить по возможности равносторонние вспомогательные треугольники APT1и ВРТ1это обеспечит большую точность вычисления s;

б) выбирать положение пункта Ртак, чтобы угол γбыл близок к прямому (Т1Рпримерно перпендикулярно к РТ2), тогда угол μ будет получен с большей точностью.

2. Пункт, к которому производится привязка, доступен для угловых, но не доступен для линейных измерений. Таким пунктом может быть, например, геодезический знак, построенный на крыше какого-либо дома, что часто

имеет место в городах.

В этом случае величина угла λизмеряется и задача сводится к вычислению неприступного расстояния Т1Р =s, которое определяется из решения двух треугольников APT1 и ВРТ1.Углы ε1 и ε2 в этих треугольниках измеряются непосредственно.