Основное уравнение динамики. Основные задачи динамики
6.1. Основное уравнение динамики.
Основное уравнение динамики есть математическое выражение второго закона Ньютона:
. (6.1)
Записанное через импульс, оно имеет вид:
. (6.2)
Мы записали второй закон Ньютона как опытный закон. В то же время его можно представить как следствие закона сохранения импульса. В самом деле, если система изолирована (замкнута), то имеем
. (6.3)
Если система не изолирована (или рассматриваем отдельные тела внутри замкнутой системы), то
. (6.4)
Функцию координат и скорости материальной точки, определяющую производную ее импульса по времени называют силой. Поэтому основное уравнение динамики или 2-ой закон Ньютона записывается
или 
. (6.5)
Это уравнение - векторное, поэтому оно может быть представлено в виде системы из трех (по числу измерений пространства) скалярных уравнений. Однако, в силу принципа независимости движения по взаимно перпендикулярным направлениям (осям), может сохраняться часть проекций импульса 
, например, на одну из осей, тогда для других проекций записываются уравнения типа (6.3). Конкретное содержание эти уравнения получают лишь тогда, когда определена функция 
. Установление таких зависимостей - основная задача динамики.
Пример: сохранение импульса по оси x: 
, т.е. 
и 1-ый закон Ньютона формально становится как бы следствием 2-го закона Ньютона.
Однако выделение 1-го закона Ньютона в “самостоятельный” физический закон принципиально необходимо, поскольку он указывает такую систему отсчета (ИСО), в которой справедлива запись 2-го закона Ньютона.
Рассмотрим образованную из двух тел замкнутую систему. В такой системе выполняется закон сохранения импульса:
,
Дифференцируя по времени, получаем
, или 
.
Т. о., мы пришли к математическому выражению 3-го закона Ньютона.
В силу того, что в замкнутой системе 
, получаем важное следствие.
Сумма сил, действующих внутри замкнутой системы тел (внутренних сил) равна нулю: 
.
6.2. Основные задачи динамики.
Два основных типа задач динамики:
1) Известна зависимость координаты от времени 
, при этом находим 
.
2) Известна сила как функция координат и скоростей, находим 
.
6.3. Уравнение движения тела с переменной массой.
Во многих задачах, представляющих практический интерес, масса тела может изменяться в процессе движения.
Получим уравнение для движения тела с переменной массой, пользуясь инвариантностью законов механики, т.е. их неизменностью в различных ИСО. В качестве примера рассмотрим движение ракеты:
а) введем инерциальную 
систему отсчета, скорость которой 
совпадает со скоростью ракеты 
в момент времени 
, 
, т.е. в указанный момент времени ракета покоится в 
системе;
б) пусть в момент времени 
ракета имеет массу 
;
в) присоединяемая (отделяемая) масса 
имеет скорость 
относительно массы 
;
г) за время от 
до 
ракета приобретает в системе импульс 
, как за счет внешних сил 
, действующих со стороны окружающих тел или силового поля, так и за счет присоединяемой (отделяемой) массы 
:
. (6.6)
Уравнение Мещерского.
Поделив уравнение (6.6) на 
, получаем уравнение Мещерского:
. (6.6,а)
Уравнение Мещерского – основное уравнение динамики тела с переменной массой. Оно описывает движение тела, к которому присоединяется масса со скоростью 
(Внимание: знак + в уравнении (6.6,а) – присоединение массы).
Будучи полученным в ИСО, в силу принципа относительности Галилея это уравнение справедливо в любой ИСО.
Рассмотрим частные случаи уравнения Мещерского.
А) Реактивная сила: 
. Если 
- потеря массы и выброс массы происходит в сторону, противоположную направлению движения ракета ( 
), то реактивная сила вызывает ускорение ракеты 
(вектор 
направлен против вектора 
).
Б) Если скорость 
, то 
и уравнение Мещерского совпадает по форме с основным уравнением динамики, но только с массой, зависящей от времени, 
:
. (6.7)
Пример такого движения: движение цистерны, из которой выливается вода.
В) Когда 
(т.е. присоединяемая масса неподвижна или отделяемая масса становится неподвижной в системе отсчета, относительно которой со скоростью 
движется тело), тогда
, (6.8)
, (6.9)
т.е. получили основное уравнение динамики, в котором как скорость, так и масса являются функциями времени.
Пример движения: движущаяся платформа, на которую сыпется песок из неподвижного бункера.
Формула Циолковского
Рассмотрим движение ракеты в отсутствие внешних сил ( 
). Тогда из (6.6) получаем
. (6.10)
Проекция скорости 
выбрасываемой ракетой газовой струи на направление движения ракеты равна 
.
Поэтому уравнение (6.10) приводится к виду
. (6.11)
Простейшим и наиболее важным является случай, когда скорость газовой струи постоянна на активном участке траектории (во время работы двигателей). Предположение о постоянстве скорости истечения газов, не затрагивая основные черты явления, сильно облегчает решение уравнения (6.11). В этом случае
. (6.12)
Пусть начальная скорость ракеты в некоторой инерциальной системе отсчета равна нулю, а её масса равна 
, т.е.
.
Тогда значение постоянной 
, определенное из начальных условий,
.
Следовательно,
,
или
. (6.13)
Последнее выражение носит название формулы Циолковского (Э.К. Циолковский 1857-1935 гг.).
Оно справедливо для нерелятивистских движений, т.е. для случаев, когда скорости 
и 
малы по сравнению со скоростью света в вакууме 
.
Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости . Результаты вычислений, проведенных по формуле (6.13) приведены в табл.
Из таблицы видно, что относительная полезная масса ракеты быстро увеличивается с ростом скорости истечения газовой струи. В молекулярной физике показывается, что скорость газовой струи пропорциональна 
, где 
абсолютная температура газа, а 
его молярная масса. Поэтому газы, выбрасываемые ракетой, должны иметь возможно меньший молекулярный вес и должны быть нагреты до возможно большей температуры.
В современных ракетах на химическом топливе скорость газовой струи порядка нескольких километров с секунду и, вероятно, не превосходит 
. Имея это в виду, можно оценить перспективы межпланетных и межзвездных полетов ракет на химическом топливе (Сивухин, I, стр. 114-122).