Порядок переменной, эквивалентность
П р и м е р 1. ,
, потому что
.
П р и м е р 2.
.
О п р е д е л е н и е . Если для функции можно подобрать числа
и
, где
, такие, что
,
то говорят, что функция есть главный степенной член функции
в окрестности точки
.
Правые части соотношений (3) – (7) суть, очевидно, главные степенные члены левых частей при .
Будем говорить, что на множестве
имеет порядок
или еще
есть
- большое от
на
и при этом будем писать
на
, (14)
если
,
где - не зависящая от
положительная константа.
В частности, равенство
на
обозначает тот факт, что ограничена на
.
П р и м е р ы:
1) на
;
2) на
;
3) на
.
Производная функции. Задачи, приводящие к понятию производной (задача о мгновенной скорости, задача об угле наклона касательной к кривой).
Основные правила дифференцирования. Таблица производных элементарных функций.
Производной от функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
, или
.
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, то есть
.
Производная есть скорость изменения функции в точке х.
Отыскание производной называется дифференцированием функции.
Основные правила дифференцирования
Пусть , тогда:
Дифференцирование неявных функций
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями ,
тогда , или
Приме:
12. Дифференциал функции. Приближённые вычисления с помощью дифференциала.
I. Дифференциал функции.
Опр. Дифференциал функции называется главная линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной
.
1. Понятие дифференциала:
Пусть функция , определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки
. Тогда существует конечная производная
=f’(x).
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ций можно записать
Где -бесконечно малая величина при
, откуда
.
Таким образом, приращение ф-ции состоит из двух слагаемых: 1)линейного относительно
;2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого прядка, чем
, ибо
=0).
Орп. Дифференциалом ф-ции называется главная, линейная относительно часть приращения ф-ции, равная произведению производной на приращение независимой переменной
.
Дифференциал ф-ции независимой переменой равен приращению этой переменной. Т.к.
Прим. Найти диффрнц. ф-ции . Решение:
, откуда
.
Поэтому формулу для дифференцирования ф-ции можно записать в виде , откуда
еперь мы видим, что
не просто символическое обозначение производной , а обычная дробь с числителем
и знаменателем
.
Т.е. геометрический смысл дифференцируемости f(x) в точке х
0 состоит в том, что расстояние от точки на ее графике до соответствующей
на касательной стремится к нулю "быстрее", чем ∆х.
Свойства дифференциала.
С-ва дифференц, фактически аналогичны свойствам производной, одним из отличительных свойств явл. с-во инвариантности форм дифференциала(6).