Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами
Теорема .Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Признаки сравнения, признак Даламбера и Коши, интегральный признак для числовых рядов с неотрицательными членами.
Признак Даламбера(в предельной форме). Пусть для числового ряда с положительными членами существует конечный предел
. Тогда при d<1 ряд сходится, а при d>1 ряд расходится.
Первый признак сравнения.Пусть члены двух числовых рядов с положительными членами и
удовлетворяют условию an<=bn (n=1,2,…). Тогда из сходимости «большего» ряда
следует сходимость «меньшего» ряда
, а из расходимости «меньшего» ряда следует расходимость «большего» ряда.
Второй признак сравнения.Пусть для двух числовых рядов с положительными членами и
существует конечный предел
. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Интегральный признак сходимости.Пусть члены числового ряда an=f(n) являются значениями неотрицательной непрерывной функции f(x), монотонно убывающей на луче [1; + oo). Тогда ряд и несобственный интеграл
сходятся или расходятся одновременно.
Признак Коши.Пусть для числового ряда с положительными членами существует конечный предел
. Если к < 1, то ряд сходится, а при к > 1 ряд расходится.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Ряд а1+а2+…+аn+…называется абсолютно сходящимся, если ряд |а1|+|а2|+…+|аn|+…также сходится, т.е. сходится ряд, составленный из модулей его членов. Ряд а1+а2+…+аn+…называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n–>∞, то: 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.
Степенные ряды.
Ряд вида а0+а1+а2x2+…+аnxn+…, где а0, а1, а2, …, аn … - некоторая числовая последовательность, называют степенным рядом.
Теорема Абеля.
1) Если степенной ряд а0+а1+а2x2+…+аnxn+… сходится при некотором x=x0, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех x, удовлетворяющих условию |x|<|x0|; 2) если ряд а0+а1+а2x2+…+аnxn+… расходится при некотором x=x1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x1|.