Напротив, условие непрерывности не является достаточным, чтобы функция имела производную

16. 1. Вынесение постоянного множителя за знак производной: (CU)/=C*U/ C-CONST

2.производная суммы и разности: (U±V)/=U/±V/ 3. Производная произведения функций: (VU)/=U/V+UV/ 4. производная частного двух функций:

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. Правило Лопиталя пусть отношение двух БМВ или двух ББ функций lim этого отношения равен lim отношения их производных(конечному или бесконечному) если последний lim существует в указанном смысле, т.е. если имеет неопределенность 0/0 или ∞/∞ тогда lim =lim (x→x0 или х→∞).

24. Условие возрастания если производная дифферинцируемой функции положительна на промежутке Х, то она возрастает на этом промежутке.

Условие убывания если производная дифференцируемой функции отрицательна на промежутке Х, то функция убывает на этом промежутке.

25. Экстремум функции –Значения функции в точках макс и мин . Для того, чтобы функция y=f(x) имела в точке х0 экстремум необходимо, чтобы f/(x0)=0 или не существовала.

26. 1-ое условие экстремума Если при переходе через тчк х0 производная меняет свой знак с + на -, тогда эта тчк макс функции, а если с – на +, то это тчк мин.функции.

2-ое условие экстремума если первая производная дважды дифференцируемой функции = 0 в нек.точке х0, а вторая производная в этой точке f//(x0)>0, тогда в этой точке х0 минимум функции и наоборот.

27. точка х0 наз. Точкой мин. Ф., если в некоторой окрестности точки х0 справедливо f(x0)<f(x) для всех значений х из этой окрестности. Точка х1 наз. Тчк макс.ф., если в нек.окрестности точки х1 справедливо f(x1)>f(x0).

28. Выпуклости. Кривая назыв.выпуклой вверх на промежутке Х, если все точки кривой у=f(x) расположены ниже любой касательной на этом промежутке. Кривая назыв.выпуклой вниз на промежутке Х, если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом промежутке. Дост условие:если вторая производная дважды дифференцируемо функции положительна(отрицательна внутри некоторого промежутка), тогда функция выпукла вниз(выпукла вверх) на этом промежутке.

29. Точкой перегиба графика функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вверх и выпукла вниз. Необходимое условие вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна 0.f//(C)=0. Достаточное условие

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку Х=С меняет свой знак, то это будет т.п.

30. Асимптотой графика ф.у=f(x) назыв. Прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от текущей точки графика функции с координатами (Х; f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат.бывают: вертик., наклонные, горизонт..

31. Диффер. Функции называется произведение производной на приращение аргумента dy=f/(x)∆x. Св-ва: 1. D(c)=0; 2. D(C*U)=CDU; 3. d(U±V)=dU±dV; 4. D(U*V)=VdU+UdV; 5. D( )= (V≠0)

32. Если дана сложная функция у=f(и), где и=ϕ(х), то ее дифференциал dy=y/dx в связи с выражением производной сложной функции y/=f/(u)u/ приводится к такому виду: dy=f/(u)u/dx, т.е.dy=f/(u)du. Сравнение обоих выражений дифференциала указывает на неизменность( инвариантность) его формы: Дифференциал функции имеет всегда один и тот же вид – произведение производной на дифференциал аргумента, который может быть как независимой переменной, так и какой-либо дифференцируемой функцией от независимой переменной. Непосредственное приложение этого свойства дифференциала имеет место в операциях интегрирования. Только для первого порядка.

33. Применение дифференциала в приближенных вычислениях: пусть у=х, тогда dy=dx=(x)/∆x=∆x, т.е.∆x=dx итак dy=f/(x)dx.формула приближенного вычисления значения функции с помощью дифференциала f(x0+∆x)≈f(x0)+f/(x0)*∆x. Чем < ∆х, тем точнее формула.

34. Опр. Диффренциалом второго порядка функции y=f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка, т.е. d2y=d(dy) Аналогично дифференциалом n-ого порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1) порядка. Тогда d3y=d(d2y)=f///(x)dx3, где dx3=(dx)3, f///(x)= и т.д.. замечание: дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности форм в отличии от первого дифференциала.

35. Опр: функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на промежутке Х, если для всех значений х из этого промежутка справедливо F/(x)=f(x). Семейство первообразных – это семейство кривых, каждая из которых получается сдвигом вдоль оси ОУ графика функции F(x)=x2. Теорема: если F1(x) u F2(x) – две первообразные от функции f(x), тогда существует такое число С, что F2(x)=F1(x)+C. Опр: совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается =F(x)+C, где С- произвольное число, F(x) – первообразная для функции f(x). Теорема: любая непрерывная на отрезке [a;b] функция имеет первообразную.

36. Св-ва неопр.инт.: 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. ( /=f(x)(проверка)2. дифференциал от неопр. интегр. равен подынтегральному выражению, т.е. d( 3. неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. 5. Интеграл от алгебраической функции двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

37.

38. Пусть U u V –дифференцируемые функции, тогда дифференцируемая произведения d(UV)=UdV+VdU. Проинтегрируем обе части равенства: UV= выразим формулу интегрирования по частям 1 вид: ; ; ; где U- P(x). 2 вид и , где dv=P(x)dx 3 вид ; , где U-eax

39.

-<