НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

_________________________________________________________________________________________

Кафедра экономической кибернетики

Н.Г. Лядина, Е.А. Ермакова, Л.В. Уразбахтина

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ АПК

Нелинейное и выпуклое программирование

Учебное пособие

Москва 2012

УДК 519.85 (085)

ББК 22.(18). я 73

Л 12

Лядина Н.Г., Ермакова Е.А., Уразбахтина Л.В. Математические методы в экономике АПК.Нелинейное и выпуклое программирование: Учебное пособие/ М.: Изд-во РГАУ – МСХА, 2012. 164 с.

Современное состояние экономики требует от бакалавров, специалистов, магистров знаний по использованию экономико-математических методов в области планирования и управления. Для знакомства с дисциплиной на примерах излагаются теоретические вопросы нелинейного и выпуклого программирования. Настоящее пособие представляет собой изложение в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основных положений учебного материала и позволяет закрепить и систематизировать свои знания по основным темам дисциплины.

Настоящее пособие предназначено для проведения занятий по дисциплинам «Математические методы в экономике АПК», «Методы принятия управленческих решений», «Методы оптимальных решений», «Математические методы управления рисками» и другим, включающим разделы: нелинейное программирование, выпуклое программирование. В пособии приводятся способы решения общей, специальной и квадратичной задач выпуклого программирования, используемые при планировании и управлении экономическими процессами, управлении рисками. Приводятся примеры задач для практических занятий и методические рекомендации по их выполнению. Для решения задач квадратичного программирования используется как графический, так и квадратичный симплекс методы, кроме того используется теория двойственности. В пособии даны основы теории выпуклого программирования, позволяющие решать разнообразные экономические задачи. Для решения задач квадратичного программирования предлагается использовать приложение MS Excel «Поиск решения». В пособие включены все темы для самостоятельной аудиторной работы студентов, указанные в рабочих программах по дисциплинам «Математические методы в экономике АПК», «Методы принятия управленческих решений», «Математические методы управления рисками».

Выполнение заданий – предпосылка успешной подготовки к зачету и экзамену по дисциплине и к производственной работе.

Решение предложенных задач представляет собой необходимый этап самостоятельной работы студента по углубленному и широкому изучению вопросов курса "Математические методы в экономике АПК», способствует развитию навыков творческой и научно-исследовательской работы, умению логически излагать материал для раскрытия содержания конкретной темы, закрепляет изученный материал по данному курсу.

Может быть рекомендовано к использованию студентами экономического факультета направления 080500 «Менеджмент» специальности 080502 «Экономика и управление на предприятии (в аграрном производстве)», бакалавров по направлению 521500 «Менеджмент» квалификации бакалавр менеджмента, студентами учетно финансового факультета направления 080100 «Экономика» профиля «Бухгалтерский учет», специальности 080105 «Финансы и кредит» и направления 080800 «Прикладная информатика» специальности 080801 «Прикладная информатика в экономике», изучающих дисциплины в бакалавриатуре, специалитете и магистратуре на кафедрах экономического и учетно финансового факультетов ргау – МСХА имени К.А. Тимирязева.

Рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета (протокол № 7 от 8 декабря 2011 г.).

Рецензенты:Алексанов Д.С., профессор кафедры управления и сельского консультирования; Светлова Г.Н., доцент кафедры экономической кибернетики РГАУ - МСХА имени К.А. Тимирязева.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 5

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.. 8

Постановка и особенности задач нелинейного программирования. 8

Нахождение безусловных экстремумов непрерывных дифференцируемых функций. 23

Нахождение условных экстремумов. Метод множителей Лагранжа. 29

ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.. 36

Классификация задач выпуклого программирования. 39

Формы записи задачи выпуклого программирования. 41

Градиент и производная по направлению.. 43

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. 50

Метод Франка-Вульфа 50

МЕТОДЫ ПОИСКА – МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.. 66

Метод последовательного изменения аргументов (координат) 66

Градиентные методы.. 73

Метод наискорейшего подъема (для самостоятельного изучения) 73

Метод наискорейшего спуска. 77

Различные алгоритмы градиентного метода (для самостоятельного изучения) 82

Алгоритм нелокального случайного поиска на минимум целевой функции 88

Особенности метода локального случайного поиска. 92

Метод штрафных функций. 93

КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (КП) 100

Графический метод. 100

Квадратичный симплекс-метод. 114

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ.. 121

Тесты - выпуклое программирование. 121

Тесты - квадратичное программирование. 125

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.. 137

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ.. 139

ПРИЛОЖЕНИЕ.. 154

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие подготовлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению 080500 – «Менеджмент», специальности 080502 – Экономика и управление на предприятиях АПК (квалификация – экономист – менеджер), утвержденной 17 марта 2000 г., предусматривает следующие требования к содержанию дисциплиныЕН.Ф.1«Математика»:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра; последовательности и ряды; дифференциальное и интегральное исчисления; векторный анализ и элементы теории поля; гармонический анализ; дифференциальные уравнения; численные методы; функции комплексного переменного; элементы функционального анализа; вероятность и статистика: теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

Раздел «Численные методы» вынесен в учебный план по дисциплине «Математические методы в экономике» (ЕН. Р. 00 Национальный региональный (вузовский) компонент ЕН. Р. 01):

Теория линейного программирования. Теория двойственности и экономические приложения. Численные методы решения задач линейного программирования. Задачи параметрического программирования. Задачи целочисленного программирования, их экономические приложения и методы решения. Задачи дробно - линейного программирования. Общая теория математического программирования. Нелинейное программирование. Выпуклое программирование. Модели динамического программирования. Модели сетевого планирования и управления. Модели системы массового обслуживания. Модели управления запасами.

Цель работы – дать основные теоретические понятия о задачах нелинейного программирования и выпуклого программирования. Остальные разделы были изложены в [9] и [10].

Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, изучающих математические методы в экономике и методы оптимальных решений, а также математические методы в управлении рисками.

По каждой теме пособия в краткой форме излагается теоретический материал, приводятся примеры выполнения практического задания, варианты индивидуальных заданий, контрольные вопросы по основным моментам изучаемого материала. Тема должна быть защищена по результатам выполнения лабораторной работы и ответов на контрольные вопросы преподавателю, что является формой промежуточного контроля знаний студентов. Работа содержит большое число заданий для самостоятельной работы студентов. В конце пособия даны тесты для опроса студентов, приведен словарь основных понятий и терминов по рассматриваемым темам. Учебное пособие полезно как для студентов бакалавриата, специалитета, так и для студентов магистратуры.

Перед началом изучения учебного пособия студент проверяет свои знания, ответив на поставленные вопросы:

1. Какая система уравнений называется совместной?

2. Какая система уравнений называется несовместной?

3. Какая система линейных уравнений называется определенной?

4. Какая система линейных уравнений называется неопределенной?

5. Чем графически изображается ax+by=c.

6. Какую линию представляет функция y=ax/b +c.

7. Какую линию представляет функция y=k/x.

8. Какую линию представляет функция F=(a₁x + b₁y + c₁)/(a₂x + b₂y + c₂).

9. Как построить прямую ax+by=c.

10. Как построить линию (a₁x +b₁y+c₁)/(a₂x +b₂y+c₂)= F.

11. Найти производную функции y=cx.

12. Найти производную функции y=k/x.

13. Найти производную функции y=cx².

14. Найти производную функции y(x) =u(x)/v(x).

15. Найти производную функции F(x,y)=(a₁x +b₁y+c₁)/(a₂x +b₂y+c₂).

16. Найти частные производные функции z=ax+by.

17. Найти частные производные функции z=ax²+by² + cx+dy.

18. Найти интеграл функции axdx.

19. Найти интеграл функции [a(x)-1]dx.

20. Найти интеграл функции ax²dx.

21. Найти интеграл функции a(x)^-2dx.

22. Найти интеграл функции ((a)x+b)хdx

23. Построить линию (x-a)² +(y-b)²- c=0

24. Построить линию (x-a)² - (y-b)²- c=0

25. Построить линию y= p(x-a)² - b=0

26. Построить линию x= p(y-a)² - b=0

27. Построить линию D(x-a)² +K(y-b)²-c=0, K¹ D

НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ