Понятие неопределенного интеграла
Пояснительная записка
Настоящее учебно-методическое пособие состоит из двух частей:
1 Неопределенный интеграл
2 Основные способы интегрирования
2.1 Непосредственный способ интегрирования
2.2 Метод интегрирования подстановкой
2.3 Интегрирование по частям.
Каждый способ структурирован по общим признакам интегрирования, содержит набор интегралов с решениями и для самостоятельного решения студента. Интегралы для самостоятельного решения частично сопровождаются указаниями к выполнению, пронумерованы от 1 до 100.
Такая структура учебно-методического пособия делает его удобным для самостоятельного овладения основными способами интегрирования при минимальной помощи со стороны преподавателя.
В пособии представлены образцы интегрирования функций. По тексту для всех рассматриваемых интегралов предусмотрена нумерация согласно способа интегрирования.
Непосредственный способ интегрирования
2.1.1
| 2.1.2
| 2.1.3
|
2.1.4
| 2.1.5
| 2.1.6
|
2.1.7
| 2.1.8
| 2.1.9 
|
2.1.10
| 2.1.11
| 2.1.12
|
2.1.13 
|
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
2.2.1
| 2.2.2
| 2.2.3
|
2.2.4
| 2.2.5
| 2.2.6 
|
2.2.7 
| 2.2.8
| 2.2.9
|
2.2.10
| 2.2.11
| 2.2.12
|
2.2.13
| 2.2.14
| 2.2.15
|
2.2.16 
| 2.2.17 
| 2.2.18 
|
2.2.19 
| 2.2.20 
| 2.2.21 
|
| 2.2.22 | 2.2.23 
| 2.2.24 
|
2.2.25 
| 2.2.26 
| 2.2.27 
|
2.2.28 
| 2.2.29 
| 2.2.30 
|
2.2.31 
| 2.2.32 
| 2.2.33 
|
2.2.34 
| 2.2.35 
| 2.2.36 
|
2.2.37 
| 2.2.38 
| 2.2.39 
|
2.2.40 
| 2.2.41 
|
Метод интегрирования по частям
2.3 .1
| 2.3.2
| 2.3.3
|
2.3.4
| 2.3.5
| 2.3.6
|
2.3.7
| 2.3.8
| 2.3.9
|
Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, выполнения практического занятия 16 Основные способы интегрирования и самостоятельной работы студента 16 Интегрирование функций: непосредственным способом, заменой переменной, по частям.
Данное учебно-методическое пособие является базовым для подготовке студентов к экзамену по модулю ЕН.01.М.07 Интегральное исчисление.
Работая с пособием, студенты имеют возможность одновременно обращаться к учебной и справочной литературе:
- Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учеб. Пособие/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – 8-е изд., стер. – М.: Наука, 1973. – 720с.: ил.
· Глава 5 Интеграл. Интегральное исчисление, §1 Неопределенный интеграл, п.78-81;
- Подольский, В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие/Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. – 3-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2005. – 495 с.: ил.
Глава 12 Неопределенный интеграл, §1-§3.
Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла
Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции.
Разнообразные вопросы математического анализа, его многочисленные приложения в геометрии, физике, химии приводят к решению обратной задачи: по заданной функции 
найти такую функцию 
, производная которой была бы равна функции , т.е. найти функцию , зная её производную 
.
Обратную задачу решает интегральное исчисление.
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
ОпределениеФункция называется первообразной функции в данном интервале, если во всех точках этого интервала её производная равна заданной функции, т.е. .
Из определения вытекают три вопроса.
1 Любая ли функция имеет первообразную?
2 Если существует, то сколько первообразных может иметь заданная функция?
3 Как найти эти первообразные?
Ответы на эти вопросы дают теоремы.
Теорема 1 (без доказательства)
Если функция непрерывная в данном интервале, то она имеет первообразную.
Теорема 2
Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных
Пусть - первообразная функции , тогда и функция 
так же является её первообразной. Действительно : 
Например, первообразной функции 
является функция 
, т.к. 
Очевидно, что первообразными будут также любые функции 
где С – постоянная, поскольку
Теорема 3(без доказательства)
Любые две первообразные функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Определение Неопределенным интеграломдля заданной функции называется совокупность всех её первообразных и обозначается 
.
Таким образом, по определению
(*)
В равенстве (*):
- подынтегральная функция (ПФ);
- подынтегральное выражение (ПВ);
- первообразная функции;
- совокупность первообразных;
- дифференциал независимой переменной, указывает по какой переменно функция интегрируется.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Интегрирование действие обратное дифференцированию и его можно проверить дифференцированием.
1.2 Свойства неопределённого интеграла
1.2.1 Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
1.2.2 Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
1.2.3 Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
1.2.4 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
1.2.5 Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функции:
1. 3 Таблица основных интегралов