Определённые и неопределённые интегралы

Mathematica может вычислять неопределенные интегралы от простых функций в аналитической (символьной) форме. Для этого используется шаблон или команда Integrate[f,x], где первый параметр означает подынтегральную функцию (она может быть определена заранее с помощью команды f[x_]:=…), а второй - переменную интегрирования; например

Если подынтегральную функцию определить заранее

то интеграл вычисляется командой

Результат, как видно, содержит специальные функции (интегральный синус и косинус), дифференцированием его можно проверить

Получившееся в результате дифференцирования сложное выражение можно упростить, восстановив исходный вид подынтегральной функции:

Как известно, не все неопределенные интегралы от элементарных функций можно вычислить в терминах элементарных и специальных функций. Если Mathematica не справляется с вычислением данного интеграла, она оставляет его записанным в "общем виде":

С этим результатом, тем не менее, можно дальше работать, например, дифференцировать:

Для вычисления определенных интегралов в команде Integrate надо указать вместе с переменной интегрирования верхний и нижний пределы в виде {x, x_min, x_max}

Например

Результат, выданный системой, означает, что при положительности действительной части коэффициента k интеграл существует и равен приведенному выражению, а в противном случае - не существует (расходится).

С помощью опции Assumptions→{} можно указать дополнительные условия, в частности, делающие возможным вычисление интеграла в аналитической форме. Сравните, например