Критерий устойчивости Михайлова
Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-ой степени с действительными коэффициентами.
(5-7)
где ,
,…,
- корни этого уравнения.
На комплексной плоскости корней (Рис. 5.1) каждому корню соответствует вполне определенная точка или две точки для сопряженных корней.
Рис 5.1 Комплексная плоскость корней.
Теоретически каждый корень изображается в виде вектора, проведенного из начало координат в точке
. Длина этого вектора равна модулю комплексного числа
, а угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси, аргументу или фазе комплексного числа
–
.
Изменение положения корня в плоскости комплексного переменного ведет к изменению аргумента- .
Положив в характеристическом уравнении
, получим изменение аргумента вектора
–
.
Если все корни характеристического уравнения находятся слева от мнимой оси, то согласно теореме Ляпунова система будет устойчива, а при изменении частот вектор
будет поворачиваться в положительном направлении – против часовой стрелки. При изменении частот от -∞ до ∞ изменение вектора будет равно
,
где - степень характеристического уравнения
, определяющая число его корней,
- наибольшее изменение аргумента
.
При изменении от -∞ до ∞ вектор
на плоскости комплексного переменного описывает своим концом кривую, которая называется характеристической кривой или годографом вектора
.
Уравнение характеристической кривой можно найти, подставив в многочлен
.
(5-8)
Отделяя в нем действительную часть от мнимой, получим
(5-9)
где - действительная часть,
- мнимая часть.
Действительная часть является четной функцией , все степени ее членов четные, начиная с нулевой (первый член
), а мнимая
- нечетной функцией
.
Поэтому для отрицательных значений
(5-10)
Следовательно, характеристическая кривая симметрична относительно действительной оси, поэтому при построении характеристической кривой можно ограничится лишь положительными от 0 до ∞, тогда угол поворота вектора
, т.е. изменение аргумента
, уменьшится вдвое.
Следовательно, критерий устойчивости можно сформулировать следующим образом: замкнутая АСР будет устойчива, если при возрастании от 0 до ∞ вектор
повернется в положительном направлении на угол
, где
- степень характеристического уравнения
или, что то же самое, если характеристическая кривая при изменении
от 0 до ∞, начиная с положительной действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении n-квадрантов комплексной плоскости.
В такой форме критерий устойчивости был предложен А.В.Михайловым в 1938 г.
Характеристическая кривая при изменении от 0 до ∞ будет обходить n квадрантов в положительном положении, если уравнения
;
имеют все действительные и перемежающиеся корни, т.е. между каждыми двумя соседними корнями уравнения лежит один корень уравнения
и наоборот, между двумя соседними корнями уравнения
лежит один корень уравнения
.
Система будет находится на границе устойчивости, если характеристическая кривая при некотором значении пересекает начало координат, обходя при этом (n-1) квадрантов.(Рис. 5.2)
Рис 5.2 Характеристические кривые.
а) устойчивые системы б)неустойчивая система в) система на границе устойчивости.
Свойства годографа вектора :
1) Годограф представляет кривую, всегда симметричную относительно действительной оси комплексной плоскости. Это следует из того, что - функция четная, а
- нечетная функция переменной
.
2) При годограф пересекает действительную ось в точке, отстоящей от начало координат на расстоянии, равном значению
-свободного члена характеристического уравнения.
3) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с действительной осью равно , при
- четном и
, при нечетном, где
- степень характеристического уравнения.
Значение , отвечающее точкам пересечения годографа с вещественной осью, определяются из уравнения
.
4) Максимально возможное число пересечений полуветви годографа с мнимой осью равно при
- четном и
при нечетном. Значение
, отвечающее точкам пересечения годографа с мнимой осью, определяются из уравнения
.
Методы построения годографа Михайлова. 1) Характеристическая кривая строится последовательно, задаваясь значениями частот от 0 до ∞ в уравнения
и
.
2) Метод контрольных точек, при котором построение характеристической кривой не обязательно. Вычисления ограничиваются нахождением только точек пересечения годографа с осями. Расположения этих точек позволяет судить об устойчивости системы. Их находят из уравнений и
и они должны быть перемежающимися.