Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері
Азақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі
Д.СЕРІКБАЕВ АТЫНДАҒЫ ШЫҒЫС ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК ТЕХНИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
С.Ж. Рахметуллина
Сандық әдістер
5В070500–Математикалық және компьютерлік моделдеу;
5B070400-Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету
мамандықтарының студенттеріне арналған
дәрістер курсы
Өскемен
МАЗМҰНЫ
1 “Cандық әдістер” пәнінің мазмұны …………………………………………. 4
1.1 Сандық әдістерге кіріспе. Қателік теориясы ……………………………… 4
1.2Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері …………………5
2 Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістері …………………8
2.1 Тура жол ………………………………………………………………………8
2.2 Кері жол ……………………………………………………………………10
2.3 Қарапайым итерация әдісі ............................................................................ 16
2.4 Зейдель әдісі ................................................................................................... 20
2.5 Қуалау әдісі .................................................................................................... 22
3 Сызықты емес теңдеулерді шешу ………………………………………..…. 26
3.1 Сызықты емес теңдеулерді шешу кезеңдері ………………………………26
3.2 Теңдік түбірін анықтау әдістер ……………………………………………28
3.2.1 Ньютон әдісі ……………………………………………………………. 28
3.2.2 Хорда әдісі ……………………………………………………………....... 29
3.2.3 Жай итерация әдісі ………………………………………………………30
4 Функцияның жақындауы ……………………………………………….…….32
4.1 Функцияның интерполяциялануы …………………………………………32
4.1.1 Ньютоннның интерполяциялық формулалары ………………………… 32
4.1.2 Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі ……….………………… 34
4.2 Ең кіші квадраттар әдісі ……………………...………………………….. 38
Дифференциалдық және интегралдық есептеулердің сандық әдістері … 48
Интегралдарды жуықтап есептеу ……………………………………….. 48
Сандық дифференциалдау ……………………………………………….. 53
Арапайым дифференциалдық теңдеулер. Коши есебінің шешу әдістері . 58
6.1 Коши есебі ……………………………………………………………..…… 58
6.2 Эйлера әдісі, қайта есептеу Эйлер (Эйлер-Коши) әдісі …………………. 58
6.3 Рунге-Кутта әдісі …………………………………...……………………… 61
7 Қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін шектік есептерді жуықтап шешу …………………………………………………………………...……….. 64
7.1 Шекті-айырымдық әдіс …………………………………………………… 64
8 Mатематикалық физика есептерін шешудің сандық әдістері .…………… 72
8.1Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер ………………………….72
8.1.1 II –ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді класстарға бөлу …………………………………………………………………………..…. 72
8.2 Негізгі типті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің мысалдары …………………………………………………………………...…. 73
8.2.1.Толқынды теңдеу ………………………………………..……………… 73
8.2.2. Жылуөткізгіштік теңдеу ……………………………….……………… 73
8.2.3. Пуассон теңдеуі …………………………………………….………….. 74
8.3 Жылуөткiзгiштiк теңдеуді шешу үшiн айырымдық схемалар ………… 75
8.3.1 Айқын схема ………………………….………………………………… 75
8.3.2 Айқын емес схема ……………………………………………………… 76
8.3.3 Айнымалыларды бағыттау әдісі ………………………………………. 77
8.4 Эллипстикалық теңдеу …………………………………………………... 80
8.4.1 Орнатуға арналған есеп ……………………………………………….. 80
8.4.2 Дирихле айырым аппроксимациясының есептерін Пуассон теңдеуі үшін қарастырy …………………………………………………………………….. 80
8.4.3 Якоби және Зейдель әдістері …………………………………………. 82
8.5 Гиперболалық теңдеу ……………………………………………………. 84
8.5.1 Толқындық теңдеу ……………………………………………………... 84
8.5.2 Айқын емес схема ……………………………………………………… 87
Әдебиеттер тізімі …………………………………………….……………...... 91
1 “САНДЫҚ ӘДІСТЕР” ПӘНІНІҢ МАЗМҰНЫ
Сандық әдістерге кіріспе. Қателік теориясы
Ателік теориясы
Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі.
Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады.
Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады.
Қателіктер 3 түрге бөлінеді:
1 Әдіс қателігі
2 Шеттетілмейтін қателік
3 Есептеу қателігі
Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әр түрлі болады.
Шеттетілмейтін қателіктер – есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер.
Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.
Негізгі ұғымдар
Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.
1 Егер а саны – тура мән, а* саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп 
- олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: 
.
2 Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады: 
немесе 
.
3 Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.
4 Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.
Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері
1 Қосынды қателігі. F(x)=x=x1+x2+x3+…+xn қосындысы берілсін.
a) қосындының абсолютті қателігі: 
.
Егер 
болса, онда 
, ал n>=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: 
.
b) қосындының салыстырмалы қателігі:
. Мұндағы 
, 
, 
.
2 Айырма қателіктері.X=x1-x2, x1>x2>0 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.
a) айырманың абсолютті қателігі: 
.
b) айырманың салыстырмалы қателігі:
.
3 Көбейтіндінің қателіктері.X=x1*x2*…*xn көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.
a) көбейтіндінің абсолютті қателігі:
.
b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: 
.
4 Бөліндінің қателігі: 
бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.
a) бөліндінің абсолютті қателігі: 
.
b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: 
.
1- мысал: Берілген х санының дұрыс цифрлар санын анықтау керек болсын.
; 
.
Анықтама бойынша: 
шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0,0025<0,05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0,0025<0,005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0,0025<0,0005 және 0,0025<0,00005 болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0,39 деп дөңгелектеуге болады, 0,4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.
2-мысал: 
; 
берілген. Санның дұрыс цифрларын анықтау.
Анықтама бойынша: 
, яғни 
. Одан шығатыны: 
. Енді санның цифрларын тексереміз:
8 цифры - дұрыс, өйткені: 
.
9 цифры – күмәнді, өйткені: 
. Дәл осылай 2 және 1 цифрларының да күмәнді екенін анықтауға болады. Сонда а санының 2 цифры дұрыс.
3-мысал: Х=2,1514 санын 3 мәнді цифрға дейін дөңгелектеп, абсолютті және салыстырмалы қателіктерін табу.
болады. Сонда 
, 
.
4-мысал: 
көбейтіндісінің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау.
екені белгілі. 
.
.
5-мысал: 
абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау, егер 
, 
, 
, 
.
Формулалар (1-4) бойынша
.
айырманың абсолютті қателігі :
.
Салыстырмалы қателігі:
.
Және 
айырманың абсолютті және салыстырмалы қателіктері:
;
.
және оның абсолютті қателігі: 
, салыстырмалы қателігі: 
.
мәнін:
.
Табылған мәндерді қолдана отырып 
салыстырмалы қателігін табылады:
.
абсолютті қателігі: 
.
Жауабы: 
, 
, 
.