Способы расчета средних величин

 

В общем виде средняя величина:

 

Введем следующие понятия и обозначения:

– признак, по которому находится средняя;;

… - индивидуальные значения признака у каждой единицы совокупности;

– частота или повторяемость индивидуальных значений признака;

– количество единиц совокупности.

Виды средних при :

= -1 – средняя гармоническая;

= 0 – средняя геометрическая;

= +1 – средняя арифметическая;

= +2 – средняя квадратическая;

= +3 – средняя кубическа.

Средняя арифметическая величина – среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Средняя арифметическая бывает:

1. Простая;

2. Взвешенная.

Средняя арифметическая простая:

– индивидуальное значение признака, средняя которого находится;

– количество единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная:

– варианты значений признака;

– частота появления соответствующего значения признака.

По аналогичной формуле рассчитывается средние величины интервального ряда:

– величина середины – ого интервала или среднее значение показателя на интервале (определяется как полусумма нижней и верхней границ интервалов);

– частота – ого интервала.

Второй метод расчета средних интервального ряда – способ условных моментов (для ряда распределения с равными интервалами):

– произвольная постоянная величина;

– общий множитель;

– момент первого порядка.

 

Пример решения задачи способом моментов:

Стаж лет Число рабочих Середина интервалов Сумм накопленных частот
А
до 10 -4 -2 -20
10-12 -2 -1 -10 20(10+10)
12-14 70(20+50)
14-16 90(70+20)
16 и более 100(90+10)
Итого - - - -

 

 

По средней арифметической взвешенной:

 

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической.

Средняя гармоническая бывает:

1. Простая;

2. Взвешенная.

Средняя гармоническая взвешенная (если ряд вариант и ряд произведений вариант на частоту известны, а сама частота – нет):

Пример: Средний сбор картофеля за смену одним работникам и общий объем собранной за смену продукции представлено следующими данными.

Номер бригады Сбор картофеля, кг
Одним работникам Всей бригадой
Всего  

 

Средняя гармоническая простая при

Пример: один ученик затрачивает на решение задачи 1/3 часа, второй – 1/5, третий – ¼. Тогда:

Средняя геометрическая простая:

 

П – произведение значений признака.

Средняя геометрическая взвешенная:

– частота повторения индивидуального значения признака.

Средняя геометрическая чаще используется для определения среднего темпа роста.

Например:

Год
Темп роста 1,24 1,39 1,31 1,15

 

 

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Например:

Номер студента
Возраст, лет

 

Модальный возраст – 20 лет, т.к. он повторяется 4 раза.

Медиана – это величина варьирующегося признака, которая делит совокупность пополам, т.е. лежит в середине ранжированного ряда.

Медиана по несгруппированным данным.

 

Номер студента:

Это значит, что в ранжированном ряду, имеющем четное число индивидуальных значений, медиана расположена между 5-ым и 6-ым значениями признаков.

На пятом месте стоит 20 лет.

Структурные средние по сгруппированным данным:

– нижняя граница модального интервала с наибольшей частотой;

– величина интервала;

– соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.

– нижняя граница медианного интервала, в котором находится половина единиц объема совокупности;

– величина интервала;

– сумма частот, предшествующих медианному интервалу;

– частота медианного интервала;

– сумма всех частот.

Пример:

Стаж работы, лет Численность рабочих Середина интервалом Накопленные частоты
До 6
6-12
12-18
18-24
24 и более