Различимые частицы и ячейки
Поставим вопрос о числе способов размещения n различных частиц по k различным ячейкам. Первая частица может быть помещена в любую из k ячеек, поэтому для нее есть k вариантов размещения; вторая частица также может быть помещена в любую из k ячеек, поэтому для нее существует также k вариантов размещения и так, очевидно, для всех частиц. Следовательно, для всех n частиц число возможностей равно kn.
Пример. Рассмотрим размещения частиц a, b по трем ячейкам
| |ab| - | - | | | a | b | - | | | b | - | a | | |||
| | - |ab| - | | | b | a | - | | | - | a | b | | |||
| | - | - |ab| | | a | - | b | | | - | b | a | |
Число способов размещений n различных частиц по k ячейкам совпадает с числом выборок объема n из k различных предметов и равно kn. Это число называют числом размещений с повторениями или перестановками с возвращением. Таким образом, число размещений с повторениями или перестановок с возвращением из k no n равно U(k,n) = kn.
Рассмотрим теперь число размещений n различных частиц по k ячейкам при условии, что в каждой ячейке может располагаться не более одной частицы. Первая частица может быть помещена в любую из k ячеек; вторая частица может быть помещена в любую из оставшихся незанятых (k – 1) ячеек; третья в любую из (к - 2) ячеек и так далее; для последней частицы остается (k – n + 1) возможностей. Всего вариантов размещения n различных частиц по k ячейкам по одной частице в ячейке равно:
.
Эта формула совпадает естественно с формулой предыдущего пункта при k = n, n = r.
Теперь легко понять, что число размещений n различных частиц по ячейкам при условии, что в i-ой ячейке помещено ni частиц, 
, n1 + n2 + ... + nk = n, равно 
Так как общее число размещений n частиц по k ячейкам, равное kn, складывается из всевозможных размещений, для которых справедливо n1 + n2 + ... + nk = n, то очевидна справедливость следующего соотношения:
Это соотношение совпадает с ранее полученным.
Одинаковые частицы
Исследуем вопрос о числе размещений n неразличимых частиц по k ячейкам. Для примера рассмотрим случай n = 3, k =3.
| |•••| - | - | | | - | - |•••| | | • | - |••| | |||
| | • |••| - | | |••| • | - | | | - |••| • | | |||
| | - |•••| - | | |••| - | • | | | - | • |••| | |||
| | • | • | • | |
Для решения задачи будем представлять частицы точками, а ячейки как промежутки между черточками. Различные размещения тогда соответствуют различным взаимным расположениям точек и черточек, при этом число черточек равно k-1. Любые размещения всегда соответствуют всевозможным расположениям n точек и
(k-1) черточек (перегородок между ячейками без учета двух крайних). Отсюда вытекает, что число размещений n неразличимых частиц по k ячейкам равно числу различных перестановок из n+k-1 элементов, из которых n одинаковы между собой и (k-1) одинаковы между собой. Число таких перестановок, очевидно, равно
.
Таким образом, число размещений n одинаковых частиц по k ячейкам равно числу сочетаний с повторениями из k по n. Очевидно также, что это число равно числу решений уравнения
n1 + n2 + ... + nk = n в целых неотрицательных числах ni ≥ 0, 
.
Условие отсутствия пустых ящиков приводит к ограничению: каждая черточка должна располагаться только между точками. Всего имеется (n-1) промежутков между точками, в них нужно поместить (k-1) черточек. Это можно сделать 
способами. Таким образом, число способов размещения n одинаковых частиц по k ячейкам при отсутствии пустых ячеек равно:
.
Посмотрим теперь каково число способов размещения n одинаковых частиц в k ячейках по одной в ячейке, разумеется, это возможно при n ≤ k. Искомое число способов равно количеству вариантов выбора n ячеек (в которые и будут помещены n частиц) из всех k ячеек:
.
Этими рассуждениями получена новая интерпретация для комбинаторного понятия числа сочетаний. Напомним, что в предыдущем пункте было установлено, что число сочетаний есть число разделений k различных предметов на две группы, одна из которых содержит n предметов, а другая (k-n) предметов (в обозначениях данного пункта). Число сочетаний есть также число размещений k различных частиц в два ящика, причем в первом ящике располагается n частиц, а во втором - (k-n) частиц.