Описание метода Рунге-Кутта
ЗАДАНИЕ Windows Forms Application 2
Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта
Постановка задачи и варианты задания
Решить численно дифференциальное уравнение первого порядка методом Рунге-Кутта с шагом при начальном условии
. Решение представить в виде таблицы, содержащей номер №точки (51 точка) и значения
в этих точках. Построить график функции
и ее производной
.
Варианты задания
№ | Дифференциальное уравнение | ![]() | ![]() |
![]() | -0,5 | 0,2 | |
![]() | -0,2 | 0,1 | |
![]() | -0,5 | 0,7 | |
![]() | -0,3 | ||
![]() | -0,4 | 0,3 | |
![]() | -0,4 | ||
![]() | -0,2 | ||
![]() | -0,4 | ||
![]() | 0,4 | ||
![]() | -0,7 | -4 | |
![]() | -0,3 | -3 | |
![]() | -0,6 | 1,5 | |
![]() | -0,1 | 0,2 | |
![]() | 0,6 | 4,5 | |
![]() | -0,9 | 1,9 |
Описание метода Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта является методом повышенной точности для численного решения дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения
(1)
с начальным условием . Разобьем отрезок
на
равных частей точками
, где
- шаг интегрирования. Каждое следующее значение функции
определяется через предыдущее по алгоритму
. (2)
Приращение вычисляется по формуле
, (3)
где
(4)
Алгоритм стартует со значения . Коэффициенты
обновляются на каждом шаге интегрирования.
Предварительная оценка погрешности делается после двойного просчета по формуле:
;
где – точное решение в точке
;
– приближенные значения, полученные с шагом
и
соответственно. Шаг
выбирают так, чтобы выполнялось условие
, где
– заданная точность.
Метод Рунге-Кутта может быть применен к решению уравнений более высокого порядка путем сведения их к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Также возможно решение системы дифференциальных уравнений.
Геометрическая интерпретация коэффициентов .
Пусть кривая (рис.1) есть решение дифференциального уравнения (1) на отрезке
. Точка
данной кривой лежит на прямой, параллельной оси
и делит отрезок
пополам,
и
– точки пересечения касательной, проведенной к кривой
в точке
, с ординатами
и
. Тогда число
с точностью до множителя
есть угловой коэффициент касательной к кривой
в точке
:
.
Точка имеет координаты
. Следовательно,
с точностью до множителя
есть угловой коэффициент касательной, проведенной в точке
(
– отрезок касательной):
.
Через точку проведем прямую, параллельную отрезку
, до пересечения в точке
с вертикалью
. Тогда точка
имеет координаты
, а
с точностью до множителя
есть угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в точке
:
(
– отрезок этой касательной).
Через точку проведем прямую, параллельную отрезку
, которая пересечет вертикаль в конце шага в точке
с координатами
. Тогда
с точностью до множителя
определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к интегральной кривой в точке
:
. Таким образом, расчетное значение
связано с углами
соотношением
.