Выбор знака неравенства в альтернативной гипотезе
1. Сравнение генеральных средних.
а) Если по данным выборочного обследования 
, то в гипотезеН1нужно взять знак «>» или «¹». При этом, если выборки малые, необходимо учитывать также значение заданного в условии задачи уровня значимости a. Например, если a=0,1, то надо брать знак «¹», так как в таблице распределения критических точек.
Стьюдента приведены значения tкр (a, k)только для двусторонней критической области.
Пусть a =0,005. В гипотезеН1 надо взять знак «>», так как значения tкр (a, k) даны в таблице только для односторонней критической области.
Если a=0,01, то в гипотезе Н1можно поставить знак «>» или «¹», потому что значения tкр (a, k) приведены в таблице как для односторонней, так и для двусторонней критических областей.
б) Если 
, то в гипотезеН1 берется знак «<» и «¹». При малых выборках необходимо руководствоваться пояснениями, приведенными выше.
2. Сравнение генеральных дисперсий.
а) Пусть по условию задачи 
. В гипотезе Н1 надо взять знак «>» или «¹». В первом случае по таблице распределения критических точек Фишера – Снедекора находится Fкр (a, k1 , k2), во втором случае Fкр (a/2, k1 , k2). Поэтому при выборе знака неравенства необходимо принимать во внимание значение заданного уровня значимости a, так как в данном методическом пособии приведены значения Fкр при a=0,05, 0,025; 0,01; 0,005.
б) Если 
, то в гипотезе берется знак «¹». Знак «<» брать нельзя, так как в этом случае критическая область будет левосторонняя и Fнаб (Fнаб всегда больше единицы) никогда не попадет в критическую область, т.е. вероятность попадания в критическую область равна нулю. Это противоречит условию задачи. Действительно, вероятность отвергнуть правильную нулевую гипотезу, т.е. вероятность того, что Fнаб попадет в критическую область, равна заданному значению a.
3. Сравнение генеральной средней со стандартом. Для выбора знака неравенства в гипотезе Н1 при решении этого типа задач надо руководствоваться пояснениями, приведенными в п.1. При малой выборке необходимо сначала по данным обследования найти выборочную среднюю 
и выборочную дисперсию 
.
Задача 1. Для сравнения точности двух станков–автоматов по двум независимым выборкам объемов n1 и n2, извлеченным из нормально распределенных генеральных совокупностей Х1 и Х2, найдены выборочные средние квадратические отклонения σ1 и σ2. При уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0: D1 = D2 при конкурирующей Н1 : D1 > D2 (1-15 в.) и при Н1 : D1 ≠ D2 (16-30 в). Какой из станков лучше налажен? Данные приведены в таблице.
| Номер варианта | n1 | n2 | 
| 
| 
|
| 0,9 | 0,8 | 0,01 | |||
| 1,2 | 1,1 | 0,025 | |||
| 0,8 | 0,6 | 0,01 | |||
| 1,8 | 0,7 | 0,025 | |||
| 0,5 | 0,3 | 0,005 | |||
| 1,2 | 0,8 | 0,01 | |||
| 1,6 | 0,9 | 0,05 | |||
| 2,7 | 2,5 | 0,005 | |||
| Номер варианта | n1 | n2 |
|
|
|
| 2,4 | 2,2 | 0,025 | |||
| 3,1 | 2,5 | 0,05 | |||
| 0,7 | 0,6 | 0,025 | |||
| 0,8 | 0,6 | 0,05 | |||
| 3,3 | 2,8 | 0,025 | |||
| 1,7 | 0,8 | 0,01 | |||
| 0,6 | 0,3 | 0,025 | |||
| 1,6 | 3,2 | 0,02 | |||
| 1,5 | 1,8 | 0,05 | |||
| 3,1 | 3,6 | 0,02 | |||
| 0,6 | 0,4 | 0,01 | |||
| 1,1 | 2,7 | 0,1 | |||
| 0,1 | 0,4 | 0,02 | |||
| 1,3 | 2,2 | 0,05 | |||
| 2,7 | 2,4 | 0,01 | |||
| 2,7 | 2,9 | 0,02 | |||
| 1,3 | 0,7 | 0,05 | |||
| 0,9 | 1,2 | 0,1 | |||
| 1,3 | 0,9 | 0,05 | |||
| 0,2 | 0,6 | 0,01 | |||
| 1,8 | 0,9 | 0,02 | |||
| 0,5 | 0,4 | 0,01 |
Задача 2. Для сравнения производительности труда рабочих двух цехов экономист исследовал среднюю выработку рабочих. Обследовано n1 рабочих в первом цехе и n2 рабочих во втором цехе. Найдены выборочные средние 
и выборочные дисперсии 
и 
. Считая, что выборки извлечены из нормальных генеральных совокупностей, при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0 : 
при конкурирующей H1 : 
(1-10 в), H1 : 
(11-20 в.), H1: х1 ≠ х2 (21-30 в.) Можно ли считать, что рабочие обоих цехов имеют одинаковую производительность труда? Данные приведены в таблице.
| № варианта | n1 | n2 | х1 | х2 |
|
| 
|
| 0,01 | |||||||
| 0,025 | |||||||
| 0,005 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,005 | |||||||
| 0,025 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,025 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0.01 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,005 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,005 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,05 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,02 | |||||||
| 0,01 | |||||||
| 0,05 |
Задача 3. Для исследования влияния двух типов удобрений на урожайность пшеницы было засеяно n1 и n2 опытных участков. Найдены выборочные средние 
и 
. Дисперсии генеральных совокупностей соответственно равны D1 и D2. Считая, что урожайность пшеницы подчиняется закону нормального распределения, при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0: при конкурирующей Н1: 
(1-10 в), Н1 : (11-20 в.), Н1 : (21-30 в.) Зависит ли урожайность пшеницы от типа внесенных удобрений? Какой тип удобрений целесообразнее использовать? Данные приведены в таблице:
| № варианта | n1 | n2 | х1 | х2 | D1 | D2 | 
|
| 26,2 | 25,4 | 9,5 | 8,4 | 0,001 | |||
| 20,5 | 18,8 | 3,4 | 3,9 | 0,01 | |||
| 20,6 | 22,8 | 2,0 | 2,5 | 0,05 | |||
| 19,2 | 18,6 | 3,8 | 4,2 | 0,005 | |||
| 22,7 | 21,6 | 2,6 | 2,9 | 0,01 | |||
| 24,4 | 23,9 | 5,1 | 4,9 | 0,005 | |||
| 18,7 | 22,1 | 2,3 | 2,8 | 0,01 | |||
| 23,9 | 20,8 | 2,1 | 2,6 | 0,05 | |||
| 19,3 | 18,7 | 4,2 | 4,5 | 0,001 | |||
| 24,7 | 22,5 | 1,9 | 1,7 | 0,05 | |||
| 25,1 | 28,3 | 2,7 | 2,6 | 0,05 | |||
| 24,4 | 24,8 | 4,2 | 4,7 | 0,001 | |||
| 25,1 | 28,2 | 2,2 | 2,7 | 0,05 | |||
| 20,7 | 21,6 | 4,1 | 4,4 | 0,005 | |||
| 18,4 | 26,5 | 2,2 | 3,4 | 0,05 | |||
| 19,9 | 20,4 | 4,5 | 4,7 | 0,001 | |||
| 23,3 | 25,5 | 2,2 | 2,4 | 0,05 | |||
| 25,7 | 26,2 | 3,1 | 3,4 | 0,01 | |||
| 22,4 | 24,2 | 3,7 | 2,3 | 0,05 | |||
| 20,2 | 21,4 | 5,4 | 5,2 | 0,001 | |||
| 23,9 | 23,5 | 1.9 | 1,7 | 0,001 | |||
| 21,5 | 20,2 | 3,8 | 3,5 | 0,01 | |||
| 25,5 | 24,5 | 1,6 | 1,4 | 0,05 | |||
| 19,8 | 19,3 | 3,8 | 4,2 | 0,01 | |||
| 27,8 | 26,9 | 4,5 | 4,9 | 0,001 | |||
| 26,9 | 24,5 | 2,8 | 1,9 | 0,01 | |||
| 22,3 | 21,1 | 2,1 | 2,6 | 0,05 | |||
| 22,5 | 21,6 | 3,9 | 3,8 | 0,01 | |||
| 21,2 | 20,9 | 3,5 | 3,2 | 0,001 | |||
| 23,6 | 20,2 | 1,9 | 2,0 | 0,05 |
Задача 4. Стандартный вес детали, изготовленной станком–автоматом, должен быть равна а (г). Результат выборочной проверки веса n изделий приведен в таблице (колонка 5). Считая, что вес деталей подчиняется нормальному распределению, при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0: 
= а при конкурирующей Н1 : > а (1-10 в.), Н1 : ≠ а (11-20 в.), Н1 : < а (21-30 в.). Нуждается ли станок в наладке?
| Номер варианта | n | a | 
| Результат выборки | |||||
| 0,01 | 
| ||||||||
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,1 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,1 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,1 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| Номер варианта | n | a |
| Результат выборки | |||||
| 0,1 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,1 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,1 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,05 |
| ||||||||
|
| |||||||||
| 0,01 |
| ||||||||
|
|
Задача 5. Размер изделия подчиняется закону нормального распределения. В результате выборочной проверки n изделий получена выборочная средняя 
. Генеральная дисперсия D известна. При уровне значимости α проверить нулевую гипотезу H0 : = а при конкурирующей Н1 : < а (1-10 в.), Н1 : > а (11-20 в.), Н1 : ≠ а (21-30 в.). Удовлетворяет ли размер изделия стандарту а?
| № варианта | n | х | D | а | 
|
| 0,01 | |||||
| 0,025 | |||||
| 0,05 | |||||
| 0,48 | 0,013 | 0,5 | 0,01 | ||
| 0,025 | |||||
| 0,68 | 0,0125 | 0,7 | 0,05 | ||
| 0,79 | 0,017 | 0,8 | 0,05 | ||
| 0,89 | 0,0124 | 0,9 | 0,025 | ||
| 0,02 | |||||
| 0,01 | |||||
| 0,81 | 0,0169 | 0,8 | 0,025 | ||
| 0,82 | 0,018 | 0,8 | 0,01 | ||
| 0,91 | 0,012 | 0,9 | 0,05 | ||
| 0,01 | |||||
| 0,05 | |||||
| 0,02 | |||||
| 0,72 | 0,015 | 0,7 | 0,02 | ||
| 0,73 | 0,014 | 0,7 | 0,01 | ||
| 0,01 | |||||
| 0,025 | |||||
| 0,53 | 0,0121 | 0,5 | 0,05 | ||
| 27,56 | 27,04 | 0,02 | |||
| 0,63 | 0,0121 | 0,6 | 0,01 | ||
| 0,02 | |||||
| 0,01 | |||||
| 0,025 | |||||
| 0,92 | 0,011 | 0,9 | 0,05 | ||
| 27,1 | 26,1 | 0,005 | |||
| 0,49 | 0,01 | 0,65 | 0,05 | ||
| 28,3 | 27,5 | 0,01 |
Рекомендуемая литература
1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КФЭИ, 2001. - Гл.. 19, с. 176 – 191.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 19, №№19.12 – 19.22.
Индивидуальная работа №7
Корреляционный анализ
Методами корреляционно – регрессионного анализа изучить влияние факторного признака на результативный признак:
1) определить уравнение регрессии;
2) вычислить выборочные показатели тесноты связи между признаками;
3) проверить гипотезу о значимости показателя тесноты связи в генеральной совокупности при 
и 
;
4) оценить показатель тесноты связи в генеральной совокупности;
5) сделать прогноз для результативного признака при значении 
. Варианты заданий:
1. Зависимость потребления некоторого продукта Y (кг) от среднедушевого дохода X (тыс. руб.)
| X | ||||||
| Y | 2,6 | 5,7 | 9,3 | 11,9 | 15,1 | 17,9 |
2. Зависимость веса индюшки Y (кг) от количества витаминных кормовых добавок X (мг)
| X | ||||||
| Y | 3,5 | 4,2 | 5,1 | 5,9 | 6,9 | 7,8 |
3. Зависимость среднедневной заработной платы Y (100 руб.) от среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного X (100 руб.)
| X | ||||||
| Y | 2,3 | 3,5 | 4,8 | 5,9 | 6,4 | 8,5 |
4. Зависимость себестоимости единицы продукции Y (руб./шт.) предприятия трудоемкости единицы продукции X (чел./час)
| X | ||||||
| Y | 1,8 | 4,5 | 7,1 | 9,2 | 11,2 | 14,5 |
5. Зависимость удельного постоянного расхода Y (руб.) от объема выпускаемой продукции X (тыс. шт.)
| X | ||||||
| Y | 4,5 | 5,7 | 7,3 | 8,6 | 9,5 | 11,4 |
6. Зависимость потребления материала Y (руб.) от объема производства продукции X (тыс. шт.)
| X | ||||||
| Y | 2,7 | 5,9 | 8,5 | 11,9 | 15,1 | 17,9 |
7. Зависимость среднемесячной производительности труда Y (детали/час) от количества обучений на курсах повышения квалификации X (ед.)
| X | ||||||
| Y | 2,8 | 8,1 | 13,4 | 19,1 | 23,8 | 29,1 |
8. Зависимость объема производства Y (тыс.ед.) от численности занятых X (100 чел.)
| X | ||||||
| Y | 5,1 | 6,4 | 7,6 | 8,9 | 9,9 | 10,8 |
9. Зависимость объема продаж Y (тыс.руб.) от расходов на рекламу X (тыс. руб.)
| X | ||||||
| Y | 0,3 | 1,5 | 3,3 | 4,6 | 6,1 | 7,5 |
10. Зависимость расходов предприятия Y (тыс. руб.) от объема производства X (шт.)
| X | ||||||
| Y | 0,7 | 2,4 | 4,1 | 5,7 | 7,3 | 8,9 |
11. Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, Y (%) от среднемесячной начисленной зарплаты X (тыс. руб.)
| X | ||||||
| Y | 5,3 | 9,6 | 13,3 | 17,8 | 21,8 | 25,9 |
12. Зависимость выпуска валовой продукции Y (млн. руб.) от стоимости основных фондов X (млн. руб.)
| X | ||||||
| Y | 13,3 | 17,6 | 23,4 | 25,0 | 26,4 | 30,1 |
13. Зависимость стоимости монтажа объекта Y (тыс. руб.) от расхода железобетона X (тыс. куб/м)
| X | ||||||
| Y | 12,0 | 16,4 | 18,0 | 21,3 | 23,4 | 28,3 |
14. Зависимость между стоимостью основных фондов X (млн. руб.) и численностью персонала Y (сотни чел) в машиностроении
| X | ||||||
| Y | 4,9 | 7,4 | 9,0 | 12,2 | 14,3 | 18,2 |
15. Зависимость между посевной площадью X (тыс. га) и поголовьем крупного рогатого скота Y (кол-во голов)
| X | ||||||
| Y |
16. Зависимость между денежными средствами, вложениями в программное обеспечение станка с ЧПУ, X (тыс. руб.) и производительностью труда рабочего Y (дет./час)
| X | ||||||
| Y | 4,4 | 7,1 | 9,8 | 12,3 | 14,9 | 17,5 |
17. Зависимость срока бесперебойной работы агрегата Y (100 суток) от частоты его профилактического ремонта X (ед./год)
| X | ||||||
| Y | 0,5 | 2,1 | 3,7 | 5,1 | 6,7 | 8,4 |
18. Зависимость прибыли предприятия Y (100 тыс.руб.) от количества сотрудников, прошедших переподготовку X (10 чел.)
| X | ||||||
| Y | 7,8 | 11,1 | 14,2 | 17,3 | 20,4 | 23,6 |
19. Зависимость поголовья овец в стаде Y (100 голов) от количества охраняющих их сторожевых овчарок X (ед.)
| X | ||||||
| Y | 0,38 | 0,69 | 1,1 | 1,4 | 1,7 | 2,1 |
20. Зависимость количества служащих музея Y (10 чел.) от площади экспозиции X (1000 м 2 )
| X | ||||||
| Y | 6,8 | 10,9 | 15,1 | 19,3 | 23,4 | 27,6 |
21. Результат наблюдений розничного товарооборота Y (млн. руб.) магазина от числа работников X
| X | ||||||
| Y | 9,1 | 12,8 | 17,1 | 20,9 | 25,2 |
22. Результат наблюдений среднесуточной переработки свеклы Y (тонн) от основных производственных средств X (тыс.руб.)
| X | ||||||
| Y | 2,9 | 5,1 | 6,9 | 8,9 | 11,2 |
23. Результат наблюдений выработки одного рабочего за смену Y (шт.) от квалификации X (разряд)
| X | ||||||
| Y | 9,9 | 14,2 | 17,8 | 22,1 | 25,9 |
24. Результат наблюдений зависимости урожайности Y (ц/га) от количества удобрений X (ц)
| X | ||||||
| Y | 3,1 | 4,8 | 6,8 | 9,1 | 11,1 |
25. Результат наблюдений зависимости производительности труда рабочего за смену Y (шт.) от стажа X (года)
| X | ||||||
| Y | 4,9 | 9,2 | 13,1 | 16,9 | 21,2 |
26. Результат наблюдений зависимости расходов членов семьи на одежду в квартал Y (тыс. руб.) от доходов семьи X (тыс. руб.)
| X | 1,5 | 2,5 | 3,5 | |||
| Y | 6,8 | 9,1 | 10,8 | 13,1 | 14,8 |
27. Результат наблюдений рентабельности Y (%) производства от фондовооруженности X (тыс. руб.)
| X | ||||||
| Y | 3,1 | 4,2 | 4,9 | 5,8 | 7,1 |
28. Результат наблюдений зависимости высоты ствола сосны Y (м) от диаметра X (см)
| X | ||||||
| Y | 3,2 | 4,1 | 5,0 | 5,9 | 6,1 | 7,8 |
29. Результат наблюдений зависимости электровооруженности Y (млн. руб.) от фондовооруженности X (млн. руб.)
| X | ||||||
| Y | 1,9 | 3,2 | 4,8 | 5,1 | 5,9 |
30. Результат наблюдений зависимости зарплаты Y (тыс. руб.) от стажа работы X (лет)
| X | ||||||
| Y | 4,8 | 8,1 | 11,2 | 13,9 | 17,1 | 19,9 |
Рекомендуемая литература
1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КФЭИ, 2001. - Гл.. 20, с. 192 – 221.
2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 20, №№20.2 – 20.3.