Визначення переміщень балок методом початкових параметрів

Короткі теоретичні відомості:

Якщо на балку будуть діяти декілька зосереджених моментів , декілька зосереджених сил і декілька ділянок рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю (рис. 4.9),

Рис. 4.9

то рівняння зігнутої осі балки можна подати у такому вигляді:

(4.7)

де абсциси точок прикладення зосереджених пар сил , сил відповідно, початків рівномірно розподілених навантажень інтенсивністю . У формулі (4.7) припускається, що початок координат збігається з лівим кінцем балки.

Два початкових параметри із чотирьох у формулі (4.7) є відомими при будь-якому методі закріплення лівого кінця балки. Дійсно, для затиснутого лівого кінця і для шарнірно-опертого лівого кінця і для вільного кінця відомі і . Невідомі один або два початкових параметри знаходять з умов закріплення інших перерізів балки.

Розглянемо приклади застосування методу початкових параметрів.

Приклад 1. Для балки, показаної на рис. 4.10 знайти рівняння прогинів і кутів повороту а також значення прогину і кута повороту перерізу в точці В.

Рис. 4.10
У цьому випадку початкові параметри дорівнюють: ;

З урахуванням цього рівняння вираз (4.7) набуває вигляду:

 

звідси:

.

При x = l маємо:

Приклад 2. Для заданої консольної балки знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а також значення прогину і кута повороту перерізу в точці В (рис. 4.11).

Рис. 4.11

У цьому випадку початкові параметри дорівнюють:

.

Отже, на основні рівняння (4.7) у даному випадку отримаємо:

;

.

Отже, остаточно одержуємо рівняння прогинів і кутів повороту перерізу:

;

.

При x = l маємо:

Приклад 3. Для балки на двох опорах знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а також значення прогину в перерізі під силою Р (рис. 4.12).

Для балки, яка розглядається

,

– невідомо.

Для ділянки I :

 

Рис. 4.12

для ділянки II

Для визначення використаємо умову: при x = l z = 0.

Отже,

Звідси дістаємо

.

Таким чином:

Визначаємо прогин перерізу під силою, тобто при x = a:

У тому окремому випадку, коли , маємо:

Приклад 4. Застосуємо метод початкових параметрів до визначення переміщень в перерізах і для балки, зображеної на рис. 4.13

Рис. 4.13

Дано: Р = 32 кН, q = 14 кН/м, m = 16 кНм.

(Балка двотавр №22 (ДСТУ 8239-89) , ).

Розв’язання: В даному випадку , , . Невідомий початковий параметр .

Рівняння зігнутої осі балки буде мати вигляд:

 

Невідомий початковий параметр можна визначити із умови на опорі В, при x=8,8 м. z=0. На відрізку

Задовольняючи умову на опорі В, отримаємо рівняння

Звідси

Підставляючи знайдене значення у рівняння зігнутої осі балки, дістаємо остаточне рівняння у такому вигляді:

для ділянки I

;

для ділянки II

;

для ділянки III

;

для ділянки IV

для ділянки V

За допомогою цих рівнянь можна визначити прогин у будь-якому перерізі балки. Розрахуємо, наприклад, прогини балки в перерізах при x=2,8 м та x=6,8 м.

Використовуючи рівняння II-ї ділянки, маємо:

Використовуючи рівняння III-ї ділянки, маємо:

.